1期 一次函数的图象与直线的方程,直线的倾斜角,斜率及其关系,直线的方程-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 例１求经过点Ｍ（０，２）并且和两条坐标轴围成的三 角形的面积为１的直线方程． 错解：因为直线经过点Ｍ（０，２），故可设直线方程为 ｘ ａ＋ ｙ ２ ＝１，由题意得 １ ２×２ａ＝１，解得ａ＝１． 所以直线方程为ｘ＋ｙ２ ＝１，即２ｘ＋ｙ－２＝０． 查缺：直线截距是直线与坐标轴交点的不恒为０的 那个坐标，可取任意实数，上述错解直接把直线在ｘ轴上 的截距ａ视为三角形的边长，导致遗漏了ａ＝－１这一种 情形．其实，三角形的这条边长应为｜ａ｜． 补漏：因为直线经过点Ｍ（０，２），故可设直线方程为 ｘ ａ＋ ｙ ２ ＝１，由题意得 １ ２×２｜ａ｜＝１，解得ａ＝±１． 所以直线方程为 ｘ＋ｙ２ ＝１或 －ｘ＋ ｙ ２ ＝１，即 ２ｘ＋ｙ－２＝０或２ｘ－ｙ＋２＝０． 例２已知直线ｌ过点（２，－６），它在ｙ轴上的截距是 在ｘ轴上的截距的２倍，求直线ｌ的方程． 错解：由题意，设直线方程为 ｘ ａ＋ ｙ ２ａ＝１，把点（２， －６）代入直线方程，得２ａ－ ６ ２ａ＝１，解得ａ＝－１． 所以直线方程为 －ｘ－ｙ２ ＝１，即２ｘ＋ｙ＋２＝０． 查缺：当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截 距都等于０，这种情况也适合题意，上述错解显然没有虑 及这种情形． 补漏：（１）当直线ｌ过原点时，它在两坐标轴上的截 距都是０，适合题意，故直线方程为ｙ＝－６２ｘ＝－３ｘ，即 ３ｘ＋ｙ＝０； （２）当直线ｌ不过原点时，设它在 ｘ轴上的截距为 ａ（ａ≠０），在ｙ轴上的截距为２ａ，则直线方程的截距式 为 ｘ ａ＋ ｙ ２ａ＝１，把点（２，－６）代入直线方程，得 ２ ａ－ ６ ２ａ ＝１，解得ａ＝－１． 故直线方程为 －ｘ－ｙ２ ＝１，即２ｘ＋ｙ＋２＝０． 综上，直线方程为３ｘ＋ｙ＝０或２ｘ＋ｙ＋２＝０． 例３已知直线 ｌ过点（１，２），它与 ｘ轴的交点到点 （－１，０）的距离为２，求直线ｌ的方程． 错解：设直线ｌ的斜率为ｋ，则由点斜式得直线方程 为ｙ－２＝ｋ（ｘ－１）， 化为一般式得ｋｘ－ｙ＋２－ｋ＝０， ① 它与ｘ轴的交点为 １－２ｋ，( )０． 又由 １－２ｋ＋１ ＝２，解得ｋ＝ １２， 代入①得直线ｌ的方程为ｘ－２ｙ＋３＝０． 查缺：上述解法未经考察就认为直线的斜率一定存 在，从而遗漏了直线斜率不存在的情形．其实，当直线的 斜率不存在时，经检验，也适合题意． 补漏：（１）当直线ｌ的斜率不存在时，直线方程为 ｘ ＝１，直线ｌ与ｘ轴的交点为（１，０），它到点（－１，０）的距 离为２，适合题意； （２）当直线ｌ的斜率存在时，设其为 ｋ，则直线的点 斜式方程为ｙ－２＝ｋ（ｘ－１）， 可化为ｋｘ－ｙ＋２－ｋ＝０， ① 它与ｘ轴的交点为 １－２ｋ，( )０． 又由 １－２ｋ＋１ ＝２，解得ｋ＝ １２， 代入①得直线ｌ的方程为ｘ－２ｙ＋３＝０． 综上，直线ｌ的方程为ｘ－１＝０或ｘ－２ｙ＋３＝０． 书 一、倾斜角 对于一条与ｘ轴相交的直线 ｌ，把 ｘ轴所在的直线 绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 ｌ重合时所成的 角α，叫作直线ｌ的倾斜角． 特别提醒：当直线ｌ与 ｘ轴平行或重合时，规定直 线ｌ的倾斜角为０°．平面上的任意直线的倾斜角都是唯 一确定的，并对应［０°，１８０°）范围内的一个角． 二、斜率 直线ｌ的倾斜角α（α≠９０°）的正切值叫作直线ｌ 的斜率．当α在 （０°，９０°）范围内时，直线的斜率大于 零，当α增大时，直线的斜率随着增大；当 α在（９０°， １８０°）范围内时，直线的斜率小于零，当α增大时，直线 的斜率随着增大；当α＝０°时，直线的斜率为零；当 α ＝９０°时，直线的斜率不存在． 特别提醒：① 当倾斜角是９０°时，直线斜率不存 在，并不是该直线不存在，此时直线垂直于 ｘ轴；② 所 有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． 三、斜率公式 过两点Ｐ１（ｘ１，ｙ１），Ｐ２（ｘ２，ｙ２）（ｘ１≠ｘ２）的直线的 斜率为ｋ＝Δｙ Δｘ ＝ ｙ２－ｙ１ ｘ２－ｘ１ ．当ｙ１＝ｙ２（ｘ１≠ｘ２，Δｘ≠０） 时，ｋ＝０，此时直线与ｘ轴平行或与ｘ轴重合（即直线与 ｙ轴垂直）；当ｘ１ ＝ｘ２时，直线与ｘ轴垂直，此时直线斜 率不存在，不能用斜率公式求ｋ．另外，斜率公式中两点 所确定的斜率与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换，具体讲，若分子是ｙ２ －ｙ１，分母必须是ｘ２－ｘ１；反之亦然． 特别提醒：斜率的定义与斜率公式为两种不同的 确定直线斜率的方法，分别适用于已知直线的倾斜角 和直线上两点的坐标求直线斜率的情况，我们使用时 可根据题目的具体条件进行选择． 书 第一招：点斜式 出招条件：能够确定直线的斜率 ｋ和一个具体的点 （ｘ１，ｙ１）． 招数拆解：已知直线过点（１，２），且倾斜角的正切值 为 １２ ５，求该直线的方程． 解：设直线的倾斜角为α，则ｔ