第一章 第一节解常微分方程组指令的使用-【手影物理】GeoGebra物理课件制作学习与应用高级教程

第一章 解常微分方程组 第1节 解常微分方程组指令的使用 利用geogebra中的“解常微分方程组”指令求解含隐函数的二阶微分方程，并利用求得的数据制作物理课件。 1.理论推导 1.1公式推导 geogebra中的很多指令对隐函数很不友好，比如“解常微分方程”指令就只能用来解二阶齐次常微分方程，无法运算含有隐函数的二阶微分方程。而Geogebra中的“解常微分方程组”指令只能用来解一阶常微分方程组，想要用这个功能来解含有隐函数的二阶常微分方程，首先需要将含有隐函数的二阶常微分方程降阶为一阶常微分方程组。方法如下： 假设有隐函数， 可以得到以为未知数的一阶常微分方程组： 然后使用指令：解常微分方程组( {y’,u’}, x初, {y0,u0}, x末 )求解。 使用该方法得到的解并不是方程，而是一个以轨迹形式体现的图像，但是可以从该轨迹上提取数据，制作物理课件。 1.2 适用范围 该方法也适用于，，，，，等类型的二阶微分方程。 1.3 动力学中的微分方程 型，可以得到geogebra可识别的一阶常微分方程组： 然后使用指令：解常微分方程组( {x’,v’}, t初, {x0,v0}, t末 )求解。 1.4 方法推广 1.4.1 多元微分方程 对于有多个广义位移的微分方程，可以在各个广义位移的方向上使用该方法，例如： ，可以令，可以得到geogebra可识别的一阶常微分方程组： ，用解常微分方程组指令将解出6个函数图像，依次为x-t、y-t、z-t、-t、-t、-t图像，可以根据需要进行选择。 1.4.2geogebra中的其他指令 geogebra中的其他指令也可以采用类似的方式输入隐函数，例如：想得到隐函数所表示的曲面，可以设置参数，，令，，，则在“曲面( <表达式>, <表达式>, <表达式>, <参变量1>, <起始值>, <终止值>, <参变量2>, <起始值>, <终止值> )”指令中可以输入为：曲面( , , , , , , , , ) 2. 推导geogebra可识别的常微分方程组 以竖直面上的圆周运动为例，介绍一下如何使用“解常微分方程组”指令解含有隐函数的动力学微分方程。 2.1 获得动力学微分方程 取向心力与水平方向的夹角为， 由几何知识可知其约束方程为，设圆的半径为R，则有，可以得到该运动的微分方程： 2.2 将动力学方程化为一阶常微分方程组 令，则 可以将转化为以为未知数的一阶常微分方程组： 3 .利用“解常微分方程组”指令求解 打开geogebra软件，利用geogebra中的“解常微分方程组”指令来解这个一阶常微分方程组。 3.1 将一阶常微分方程组改写成geogebra可识别的格式 将我们得到的以为未知数的一阶常微分方程组： 改写成geogebra软件可以识别的形式 3.2 设定初始值 设定好， 再设定好g和R的值 3.3 输入geogebra可识别的方程 在代数区输入： 在代数区会显示代入了g、R数据后的结果，如上图所示 3.4 “解常微分方程组”指令使用说明 在输入框中键入“解常微分方程组”后，将输入法切换到英文输入模式，系统会自动提示“解常微分方程组”指令的使用方法：解常微分方程组(<导数列表>,<x坐标初值>,<y坐标初值列表>,<x坐标终值>)，如图所示。 3.4.1 导数列表 “导数列表”中所填必须为导数形式（右上角必须加“’”表示其一阶导数的身份），且导数需要依次排列在列表当中，如果在使用之前并未单独创建列表，可以在此位置用“{ }”创建一个列表，将导数依次填入其中，例如：{} 3.4.2 x坐标初值 “x坐标”指的是我们所输入函数的变量中的第一项，未必真的是“x”，例如：中的t占的就是这个“x”的位置，所以例子中的“x坐标初值”其实就是中t的初始值，我们可以将其设置为0 3.4.3 y坐标初值列表 “y坐标”指的不是单一的纵坐标，而是指我们输入函数的变量中从第二项往后的所有变量，例如：在中，“y坐标”指的是，所以我们需要在“y坐标初始值列表”中以列表的形式依次输入的初始值， 3.4.4 x坐标终值 “x坐标终值”指我们所输入函数的自变量中的第一项的最大值，例如：在中t的最大值要填在这个位置。 按照提示，将指令补充完整，一定要依次输入“y坐标”所表示的各个变量，例如：解常微分方程组 3.5 常微分方程组的解 得到的结果如图所示，所得是变量“y坐标”关于“x坐标”的轨迹，所输入的列表当中有几个“y坐标”就会得到几个轨迹。例如：我们所输入的解常微分方程组中“x坐标”填的是时间t的初末值，“y坐标”有两个，分别是，所以我们得到的两个轨迹分别是 在上图中，numericalletegral1即为角度关于时间的函数图像，Numer