专题2.3 角平分线模型（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（浙教版）

专题2.3 角平分线模型 【典例1】在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． 【思路点拨】 （1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝OH，根据三角形的面积公式即可得的结论． 【解题过程】 解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO＝30°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°； （2）如图2，连接OC， ∵AE、BF是角平分线，交于O点， ∴OC是∠ACB的角平分线， ∴∠OCF＝∠OCE， 过O作OM⊥BC，ON⊥AC， 则OM＝ON， 在Rt△OEM与Rt△OFN中，， ∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL）， ∴∠EOM＝∠FON， ∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB， ∵AE、BF是角平分线， ∴∠AOB＝90°∠ACB， 即90°∠ACB＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACB＝60°； （3）如图3，连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H， ∵AE、BF是角平分线，交于O点， ∴OD＝OG＝OH， ∴S△ABC8×610OD6×OG8×OH， ∴OD＝2， ∴S△AOB10×2＝10． 1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【思路点拨】 过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，利用角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，然后根据三角形面积公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC． 【解题过程】 解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图， ∵点O是△ABC三条角平分线的交点， ∴OD＝OE＝OF， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB•OD）：（OE•BC）：（OF•AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5． 故选：D． 2．（2021秋•藁城区校级月考）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　） A．2 B．1 C．4 D．3 【思路点拨】 过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD，∠AOP＝30°，再根据斜边上的中线性质得到OP＝2DM，所以PD＝DM＝4cm，然后根据垂线段最短解决问题． 【解题过程】 解：过P点作PH⊥OB于H，如图， ∵OP平分∠AOB， ∴PH＝PD，∠AOP＝30°， ∵M是OP的中点， ∴OP＝2DM， ∴PDOP＝DM＝4cm， ∵点C是OB上一个动点， ∴PC的最小值为线段PH的长， 即PC的最小值为4cm． 故选：C． 3．（2022春•海州区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．116° B．100° C．128° D．120° 【思路点拨】 连接AA'，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC，即可解答． 【解题过程】 解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB， ∵∠BA'C＝122°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°， ∴∠ABC+∠ACB＝116°， ∴∠BAC＝180°﹣116°＝64°， ∵△ABC纸片沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×58°＝128°， 故选：C． 4．（2021