专题2.4 因式分解【九大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题2.4 因式分解【九大题型】 【华东师大版】 【题型1 因式分解的意义】 1 【题型2 利用因式分解求系数的值】 3 【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】 4 【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】 6 【题型5 因式分解】 7 【题型6 利用添项进行因式分解】 9 【题型7 利用拆项进行因式分解】 10 【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】 12 【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】 13 【知识点1 因式分解】 定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【题型1 因式分解的意义】 【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意； B选项计算错误，故不符合题意； C选项是因式分解，故符合题意； D选项不是因式分解，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（2022秋•儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（　　） A．a2﹣b2 B．a2﹣2a+1 C．ab﹣a D．a2+b2 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可． 【解答】解：A、原式＝（a+b）（a﹣b），不符合题意； B、原式＝（a﹣1）2，不符合题意； C、原式＝a（b﹣1），不符合题意； D、原式不能分解，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（2022春•青川县期末）下列各式因式分解正确的是（　　） A．a2+aa2+2a+1＝（a+1）2 B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2 C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b D．a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2 【分析】直接利用因式分解定理判断即可． 【解答】解：A选项的系数不正确； B、C选项不是因式乘积形式，不正确； D，a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2是正确的． 故选：D． 【变式1-3】（2022秋•德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mnn2．其中，能够分解因式的是　②③④⑤⑥　 （填上序号）． 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：①x2+y2不能因式分解，故①错误； ②﹣x2+y2利用平方差公式，故②正确； ③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确； ④x4﹣1平方差公式，故④正确； ⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确； ⑥m2﹣mnn2完全平方公式，故⑥正确； 故答案为：②③④⑤⑥． 【题型2 利用因式分解求系数的值】 【例2】（2022•攀枝花模拟）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 【分析】设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6＝（x﹣2）（x﹣a）＝x2﹣（a+2）x+2a， ∴﹣p＝﹣a﹣2，2a＝﹣6， 解得：a＝﹣3，p＝﹣1． 故选：C． 【变式2-1】（2022春•聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝　﹣140　． 【分析】根据完全平方公式展开，再根据对应项系数相等即可求解． 【解答】解：∵（10x﹣7y）2， ＝100x2﹣140xy+49y2， ＝100x2+kxy+49y2， ∴k＝﹣140． 故应填﹣140． 【变式2-2】（2022春•南山区校级