3.2 双曲线-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

3.2 双曲线 3.2 双曲线 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1　双曲线的定义 2 知识点2　双曲线的标准方程 4 知识点3　双曲线的几何性质 7 知识点4　等轴双曲线 9 二、典型题型 10 题型1 直线与双曲线的位置关系 12 题型2 双曲线的渐近线 15 题型3 求双曲线的轨迹方程 17 三、难点题型 20 题型1 双曲线的离心率 22 题型2 双曲线的应用 24 四、活学活用培优训练 39 一．基础知识点 知识点1 双曲线的定义： 文字语言 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹 符号语言 |PF1－PF2|＝常数(0＜常数＜F1F2) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点间的距离 例1 若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．双曲线的一支 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】A 【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可 【详解】设动圆的圆心为M，半径为r， 圆与圆的圆心分别为和圆， 易得圆和圆的半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得，． ∴，又， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支． 故选：A 例2 （多选题）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 【答案】BC 【分析】根据已知条件判断的大小关系，结合双曲线定义判断轨迹的图形. 【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支； 当时，，故轨迹为射线； 故选：BC. 例3 已知双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1，求点M到另一个焦点的距离． 【答案】17 【分析】首先将双曲线化为标准式，即可求出，再根据双曲线的定义得到方程，解得即可； 【详解】解：双曲线，即，所以即； 设双曲线的两个焦点分别为，，则， 双曲线上一点到一个焦点的距离为1，不妨令， 则，（舍去）或． 故点M到另一个焦点的距离为17． 知识点2 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 例1 －＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2)