第二章 2.1 第1课时 不等关系与不等式（word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第1课时　不等关系与不等式 [对应学生用书P31] 1．不等式的概念 (1)不等关系 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示． (2)不等式(应用不等式时要特别注意能否取到等号)的概念 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．实数大小比较(任意两个实数都可以比较大小)的基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a＞b，a＝b，a＜B． 依据 a＞b⇔a－b＞0 a＝b⇔a－b＝0 a＜b⇔a－b＜0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 [微练]　设P＝2a(a－2)＋3，Q＝(a－1)(a－3)，a∈R，则有( A ) A．P≥Q B．P＞Q C．P＜Q D．P≤Q 3. 重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab(a，b即可以是某个具体的实数，也可以是代数式)当且仅当a＝b时，等号成立． 不等式a2＋b2≥2ab中，“当且仅当”的含义： (1)当a＝b时，a2＋b2≥2ab等号成立，即a＝b⇒a2＋b2＝2aB． (2)仅当a＝b时，a2＋b2≥2ab等号成立，即a2＋b2＝2ab⇒a＝B． [对应学生用书P32] 知识点一 用不等式(组)表示不等关系 　(1)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为____________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____________． 8(x＋19)>2 200　8x>9(x－12)　解析：若这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，即现在每天行驶的路程为(x＋19) km，则不等关系“在8天内它的行程就超过2 200 km”，写成不等式为8(x＋19)＞2 200. 若每天行驶的路程比原来少12 km，即现在每天行驶的路程为(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”，用不等式表示为8x＞9(x－12). (2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆， 则 将不等关系表示成不等式(组)的思路 思路一 读懂题意，找准不等式所联系的量 思路二 用适当的不等号连接 思路三 多个不等关系用不等式组表示 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍，写出满足所有上述不等关系的不等式(组). 解：设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根． 根据题意得 知识点二 作差法比较大小 　已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝＋≥＞0， 又∵x＞1， ∴(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x. [探究]　 若本例中将条件改为“已知a＞0，b＞0”，试比较＋与＋的大小． 解：(方法一)＋－(＋)＝＋＝(a－b)·＝. ∵a＞0，b＞0，∴＋＞0，＞0，(－)2≥0， ∴≥0，即＋≥＋. (方法二)(＋)2－(＋)2 ＝＋＋2－a－b－2 ＝－(a＋b)＝(a＋b)·. ∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0， ∴≥0，即(＋)2≥(＋)2， ∴＋≥＋. 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 作差法比较大小的步骤 ①作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；②变形：对差进行变形；③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；④作出结论 变形的方法 ①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论 提醒：在遇到无理数(式)比较大小时，为方便起见可将分子或分母有理化再作比较，如果比较大小的两个数(式子)都是正数，可先乘方再作比较 (1)设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小； (2)若a＞b＞0，试比较与－的大小． 解：(1)(x2