专题4.1 成比例线段【七大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题4.1 成比例线段【七大题型】 【北师大版】 【题型1 成比例线段的概念】 1 【题型2 成比例线段的应用】 2 【题型3 比例的证明】 3 【题型4 利用比例的性质求比值】 4 【题型5 利用比例的性质求参】 4 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 5 【题型7 黄金分割】 6 【知识点1 成比例线段的概念】 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【题型1 成比例线段的概念】 【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（　　） A． B．3 C．8 D．12 【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为 　2　． 【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（　　） A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4 【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？ 【题型2 成比例线段的应用】 【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状． 【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（　　） A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm． 【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（　　） A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1 【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（　　） 舞蹈社 溜冰社 魔术社 上学期 3 4 5 下学期 4 3 2 A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变 【知识点2 比例的性质】 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 【题型3 比例的证明】 【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果，求证：． 【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：． 【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D． 证明：（1）；（2）． 【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且，求证． 【题型4 利用比例的性质求比值】 【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知，则　　． 【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若且b﹣2d+3f≠0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若（b﹣d≠0），则 D．若，则a＝3，b＝4 【题型5 利用比例的性质求参】 【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：k，则k＝　　　． 【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知，且x+y＝24．则x的值是（　　） A．15 B．9 C．5 D．3 【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知，且3y＝2z+6，求x，y的值． 【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若，且b+d≠0，那么． （1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？ （2）若，求t2﹣t﹣2的值． 【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解： 已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：． 证明：∵， ∴11． ∴． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （