第十章 第2节 二项式定理-2023高考数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　二项式定理 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. (对应学生用书第169～170页) 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N+). (2)二项式通项:Tk+1=an-kbk,它表示通项为展开式的第k+1项. (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数,,…,. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n+1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=  增减性 二项式系数 当k<(n∈N+)时,是递增的 当k>(n∈N+)时,是递减的 二项式系 数最大值 当n为偶数时,中间的一项取得最大值 当n为奇数时,中间的两项与取得最大值 二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 3.杨辉三角 下面的数表称为杨辉三角 其中第n行是1,,,…,,,1. 1.(a+b)n展开式的各二项式系数的和:+++…+=2n. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=2n-1. 1.(1+2x)5的展开式中x2的系数等于(　C　) A.80 B.60 C.40 D.20 解析:Tk+1=(2x)k=2kxk,当k=2时,x2的系数为×22=40.故选C. 2.若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(　A　) A.20 B.60 C.80 D.120 解析:二项式系数之和2n=64,所以n=6,Tk+1=·x6-k·()k=x6-2k,当6-2k=0,即当k=3时为常数项,T4==20.故选A. 3.杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方作法本源图”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.若用ai-j表示三角形数阵的第i行第j个数,则a100-3=(　B　) A.5 050 B.4 851 C.4 950 D.5 000 解析:依据二项式系数可知,第i(i≥2)行第j个数应为,所以第100行第3个数为==4 851.故选B. 4.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为　　　　.  解析:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8. 答案:8 5.(+)8的展开式中常数项为　　　　,是第　　　　项.  解析:二项展开式的通项为Tk+1=()8-k·()k=()kx4-k,令4-k=0,解得k=4,所以T5=()4=. 答案:　5 (对应学生用书第170～171页) 二项式定理通项的应用 　形如(a+b)n(n∈N+)型 (1)(多选题)若的展开式中含xα(α∈Z)项,则α的值可能为(　　) A.-5 B.1 C.2 D.7 (2)的展开式的常数项为160,则实数a=　　　　.  解析:(1)的展开式的通项Tr+1=(2x2)5-r·(-)r=25-r(-3)rx10-3r,其中r=0,1,2,…,5.令r=1,则10-3r=7;令r=3,则10-3r=1;令r=5,则10-3r=-5.令10-3r=2,则r=∉N,所以α的值可能为7,1,-5.故选ABD. (2)的展开式的通项Tr+1=(ax)6-r·()r=a6-rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,所以a6-3=160,解得a=2. 答案:(1)ABD　(2)2 求形如(a+b)n(n∈N+)型的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=an-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错); 第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r; 第三步,把r代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量. 　形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N+)型 (1)(2020·全国Ⅰ卷)(x+)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 (2)(x2-3x+)的展开式中常数项为(　　) A.30 B.-30 C.