第09课 等腰三角形的性质定理-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第9课 等腰三角形的性质定理 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握等腰三角形性质定理 2.会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图. 4..探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60. ( 知识精讲 ) 知识点01 等腰三角形的性质1. 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等. 也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角. 知识点02 等腰三角形的性质2 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一. 知识点03 等边三角形的性质 　　等边三角形的性质：等边三角形的各个角都等于60° ( 能力拓展 )考点01 等腰三角形的性质1 【典例1】如图，△ABC中，已知AB＝AC，BC平分∠ABD． （1）求证：AC∥BD； （2）若∠A＝100°，求∠1的度数． 【思路点拨】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，由角平分线的定义可得∠ABC＝∠1，根据等量关系得到∠1＝∠C，再由平行线的判定证得结论； （2）由平行线的性质得到∠ABD＝80°，所以∠ABC＝∠1，依此即可求解． 【解析】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠1， ∴∠C＝∠1， ∴AC∥BD； （2）解：∵AC∥BD，∠A＝100°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠1＝40°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质及角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解决本题的关键． 【即学即练1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝50°，求∠CDE的度数． 【思路点拨】根据等腰三角形三线合一的性质得到∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝65°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝25°． 【解析】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝50°， 又∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝＝65°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 考点02 等腰三角形的性质2 【典例2】已知，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，求证：∠A＝2∠CBD． 【思路点拨】过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝2∠CAE，根据三角形的内角和得到∠CBE＝∠CAE，于是得到结论． 【解析】证明：过A作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠CAE， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠C，∠CAE＝90°﹣∠C， ∴∠CBE＝∠CAE， ∴∠BAC＝2∠CBD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，垂直的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 【即学即练2】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F． 求证：EF＝ED． 【思路点拨】根据等腰三角形三线合一，确定AD⊥BC，又因为EF⊥AB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论． 【解析】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC． ∵BG平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EF＝ED． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质；利用等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC是正确解答本题的关键． 考点03 等边三角形的性质 【典例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP． 【思路点拨】由等边三角形的性质可得出∠CAP＝∠CBQ＝60°，求出∠BCP＝30°，由三角形内角和定理得出∠BHC＝90°，则可得出结论． 【解析】证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形， ∴∠CAP＝∠CBQ＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°， 在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BQ⊥CP． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【即学即练3】如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC外部，且DA＝DC，连接BD． （1）判断BD和AC的位置关系，并说明理由． （2）过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，求DE的长． 【思路点拨】（1）由线段垂直平分线的性质可得出结论；