3.3 幂函数-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 思维导图 新课标要求 通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 知识梳理 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 二、五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 三、一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 名师导学 知识点1 幂函数的概念 幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【例1-1】在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数． 【例1-2】已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解　由题意得 解得或 所以m＝－3或1，n＝. 【变式训练1-1】给出下列函数: ①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=x-2. 其中幂函数的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C　[解析] 由幂函数的定义知,只有①⑥⑦是幂函数,故选C. 【变式训练1-2】已知幂函数y=(m2-m-1),求此幂函数的解析式,并指出其定义域. 解:∵y=(m2-m-1)为幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,则y=x-3(x≠0); 当m=-1时,m2-2m-3=0,则y=x0(x≠0). 故所求幂函数的解析式为y=x-3(x≠0)或y=x0(x≠0). 知识点2 幂函数的图象及应用 (1)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 【例2-1】若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． 解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2. 在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得， (1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)； (3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)． 【变式训练2-1】如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ 答案　B 解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速