专题04 直线方程“对称性”综合应用-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题4 直线方程“对称性”综合应用 目录 【题型一】点关于直线对称 1 【题型二】直线关于点对称 3 【题型三】直线关于直线对称 4 【题型四】圆上两点关于直线对称 6 【题型五】圆与圆关于直线对称 7 【题型六】 函数和曲线关于直线对称 9 【题型七】光学性质 10 【题型八】直线综合 13 培优第一阶——基础过关练 16 培优第二阶——能力提升练 18 培优第三阶——培优拔尖练 20 对称技巧： 如果对称轴所在的直线斜率是，即直线是型，可以利用反解对称轴法直接求出对称变换式子 。其中点是所给点坐标，点（x，y）是所求对称点坐标 【题型一】点关于直线对称 【典例分析】 （2021·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得，从而求得m+n的值． 【详解】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称， ∴线段AB的中点C（，）在直线x+2y﹣2＝0上， ∴2+n﹣2＝0．∴m+2n＝7，而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4， 解方程组，可得m＝3，n＝2，∴m+n＝5.故选：C 【提分秘籍】 基本规律 点关于直线对称： （1）点关于线对称：方程组法，设对称后点的坐标为(x，y)，根据中点坐标及垂直斜率列方程组 （2）点关于直线的对称点，则有 【变式训练】 1.（2021·江苏连云港·高二期中）点关于直线对称的点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点关于直线对称的点的坐标，解方程，且，即得解. 【详解】解：设点关于直线对称的点的坐标 则中点的坐标为，， 利用对称的性质得：，且， 解得：，，点的坐标，故选：D 2.（2021·江苏·高二期中）点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（       ） A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1) C．(－a，－b) D．(－b，－a) 【答案】B 【分析】结合中点和斜率求得对称点的坐标. 【详解】设对称点为，则. 所以对称点的坐标为.故选：B. 3.（2021·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，若点与点关于直线对称，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可． 【详解】由题意，则故选：D 【题型二】直线关于点对称 【典例分析】 （2022·全国·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（       ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．故选：B． 【提分秘籍】 基本规律 直线关于点对称： （1方法一：可以取两个点，利用中点坐标公式求出对应点的坐标，再由两点求出直线方程） （2）方法二：对称直线和原直线是互为平行线，且到点的距离相等，所以可以待定系数法，利用点到直线距离 公式求解（注意会有增根，增根对应的恰好是原直线方程） 【变式训练】 1.（2022·江苏·高二专题练习）直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 2.（2021·全国·高二专题练习）直线关于原点对称的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程. 【详解】点在直线上，则在所求直线上 所求直线的斜率，则所求直线方程为 故选：A 3.（2020·河北·元氏县第一中学高一阶段练习）与直线关于点对称的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】解析： 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，