第1章：直线与方程重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

第1章：直线与方程重点题型复习 题型一 直线的倾斜角与斜率关系 【例1】已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解析】①，时，直线的斜率不存在，①错误. ②，，直线的倾斜角为，不是，②错误. ③，当时，，③错误. 所以不正确的是①②③.故选：D 【变式1-1】（多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，， ，故C正确； 由，知，，， ，故B正确；故选：BC 【变式1-2】（多选）设直线过原点，其倾斜角为，若将直线绕坐标原点逆时针方向旋转45°后得到直线，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】当时，，所以直线的倾斜角为. 当时，，， 即直线的倾斜角为. 故选：BD 【变式1-3】设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线l的倾斜角为，则，由，得， ∴．故选：D． 题型二 直线与线段相交求斜率范围 【例2】已知两点A(-2，4)，B(2，3)，过点P（1，0）的直线与线段AB有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，由图象知： 过点P（1，0）的直线为直线PA，PB之间任意一条直线， 而， 因为直线与线段AB有公共点， 所以或，故选：D 【变式2-1】（多选）已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设,则， 如图，由图可知，当时，直线与线段相交， 故选：AC 【变式2-2】经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 【答案】或 【解析】如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交， 设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为, 则符合要求的直线的倾斜角范围为， , 由题意知直线的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率的关系， 满足条件的直线的斜率的取值范围为或 【变式2-3】已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过点， 画出图象如下图所示，，， 由于直线与线段AB没有公共点， 当时，直线与线段有公共点，不符合题意， 当时，直线的斜率为， 根据图象可知的取值范围是， 所以的取值范围是.故选：A 题型三 直线方程的求解 【例3】过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当截距都为0时，过点时直线为， 当截距不为零时，设直线为， 代入点得，故选：D﹒ 【变式3-1】经过点的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得直线的两点式方程为， 即．故选：D. 【变式3-2】（多选）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意，直线的倾斜角可以是或或或， 所以直线的斜率或或或， 所以直线的方程可以为或 或 或， 由，整理得， 此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.故选：ABC. 【变式3-3】直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的斜率为，则直线方程为， 直线在轴上的截距为1－， 令－3<1－<3，解不等式得或.故选：D. 题型四 直线过定点问题 【例4】直线：恒过的定点坐标为____________. 【答案】 【解析】由可得， 由可得， 所以该直线恒过的定点. 故答案为：. 【变式4-1】设直线过定点，则点的坐标为________. 【答案】 【解析】由直线方程，可化简为， 又由，解得， 即直线恒经过定点. 故答案为：.