3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教A版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 核心素养：通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养. 知识点一　　　双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图 形 性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 关系 c2＝a2＋b2 范围 x≤－a，或x≥a，y∈R y≤－a，或y≥a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 知识点二　　　等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝a2(a≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ . 1．双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标(实轴端点坐标)、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关． 2．已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏． 3．求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a，c，计算e＝； (2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解． 4．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程，反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为.(　　) (2)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) (3)双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标相同．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)双曲线－y2＝1的实轴长为(　　) A．4 B．2 C. D．1 (2)双曲线x2－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________. (3)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________． (4)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线的方程为________． 答案　(1)A　(2)y＝±x　2　(3)1　　(4)－＝1 题型一 双曲线的简单几何性质 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1， 即－＝1，得a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 作草图如图： (1)由双曲线的方程研究几何性质的四个解题步骤 (2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上． (3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线． 依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形． 　(1)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案　C 解析　因为0<θ<，所以sinθ>0，cosθ>0，所以双曲线C1的实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率e1＝，双曲线C2的实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ＝，焦距为2＝，离心率e2＝，所以两个双曲线的离心率相等． (2)已知双曲线my2－x2＝1