专题2.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题2.1 一元二次方程与公共根、整数根、整体代入 【例题精讲】 已知关于的方程． （1）试判断该方程根的情况，说明理由； （2）若该方程与方程有且只有一个公共根，求的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，理由如下： △． ， ，即△， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）设两个方程的一个公共根为， 则， ②①，得：， 解得：，． 当时，有， 解得：， ， 符合题意； 当时，， 不符合题意，舍去． 的值为． 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）选取一个合适的值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根． 【解答】（1）证明：△， ， 方程有两个实数根； （3）解：取时，则，， 故方程为， ， 解得或． 已知是方程的一个根．求： （1）的值； （2）代数式的值． 【解答】解：（1）是方程的一个根， ， ， ； （2）原式 ． 【题组训练】 一．公共根 1．方程和有一个公共根，则的值是　2　． 【解答】解：方程和有一个公共根， ， ， 解得，， 当时， ． 故答案是：2． 2．若方程和只有一个公共根，则的值是多少？ 【解答】解：设公共根为，则． ①②，得， 当时，两方程完全一样，不合题意； 当时，，则． 答：的值是1． 3．若两个方程和只有一个公共根，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：设公共根为，则． ①②，得， 当时，方程可能有两个公共根，不合题意； 当时，． 故选：． 4．若关于的方程：和有且只有一个公共根，则　2或　． 【解答】解：解方程得，， 把代入得，解得； 把代入得，解得， 综上所述，的值为2或． 故答案为：2或． 5．已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为　3　． 【解答】解：设公共实数根为， 则，，， 三式相加得， 即， 因为， 所以， 所以原式 ． 故答案为3． 6．已知关于的一元二次方程与有一个公共实数根，则　　． 【解答】解：与有一个公共实数根， 有一个实数根， ， 把代入得： ． 故答案为：． 7．有三个方程：①；②；③，它们的公共根是　　 A．5 B． C．1 D．以上都不是 【解答】解：， ， 或， ，， 把，代入②③，能使方程左右相等， 它们的公共根是5， 故选：． 9．已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：． （1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②； （2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根； （3）若方程①和②有一个公共根．求代数式的值． 【解答】解：（1）方程①有两个相等实数根， 且△，即，则，解此方程得，， 而， ， 当时，方程②变形为：，解得，； （2）△， 无论为何值时，方程②总有实数根， 方程①、②只有一个方程有实数根， 此时方程①没有实数根， （3）设是方程①和②的公共根， ③， ④， 由③④得⑤， 由④得：⑥， 将⑤、⑥代入，原式． 10．已知关于的两个一元二次方程： 方程①：； 方程②：． （1）若方程①有两个相等的实数根，求：的值 （2）若方程①和②只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根． （3）若方程①和②有一个公共根，求代数式的值． 【解答】解： （1）方程①有两个相等的实数根， ， 则，△， 则， ，， ， ； （2）△， 无论为何值时，方程②总有实数根， 方程①、②只有一个方程有实数根， 此时方程①没有实数根． （3）根据是方程①和②的公共根， ③，④， ③得：⑤， ⑤④得：， 代数式． 故代数式的值为5． 二．整数根 11．关于的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是　　 A．是正数，是负数 B． C．是正数，是负数 D． 【解答】解：设方程的两根为、，方程的两根为、． 关于的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于的一元二次方程也有两个同号非零整数根， ，， 故选项与说法均错误，不符合题意； 关于的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于的一元二次方程也有两个同号非零整数根， ，， 、不能同时为2，否则两个方程均无实数根）， 故选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意； 故选：． 12．关于的方程有两个不相等的正整数根，则整数的值为　　． 【解答】解：由题意可知：△ ， ， 或， 由题可知：， 故答案为： 13．已知：关于的一元二次方程． （1）求方程有实数根的实数的取值范围； （2）若方程有两个不相等的正整数根，求出此时的整数值． 【解答】，解：（1）由题意可知：， △ ， △， 故，方程总有实数根； （2）， ， 或， 方程有两个不相等的正整数根， ． 15．已知关于的一元二次方程． （1）若此方程总有两个相等的实数根，求的值．（用含的代数式表示）； （2）当时，