1.4.2 一元二次不等式及其解法第二课时 课件-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.4.2 一元二次不等式及其解法 第二课时 【问题1】已知：，请写出它的一个充要条件. 【答案】：：或；：： 【问题2】已知：，请写出它的一个充要条件. 【答案】：：且. 【问题1】已知函数与轴交点的横坐标是2，3，则不等式的解集是什么? 1．分式不等式的解法 【答案】不等式的解集是或. 【问题2】与等价吗?将变形为，有什么好处? 【答案】等价，好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式. (1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零. (2)分式不等式的4种形式及解题思路 令，， ①⇔； ②⇔； ③⇔且⇔或； ④⇔且⇔或. 抽象概括 (3)不等式与不等式组的等价关系 ①⇔或 ②⇔或 ③⇔或 ④⇔或 【例1】解下列不等式： (1)； (2). 【解析】(1)⇔⇔， ∴原不等式的解集为. (2)∵，∴，∴，即. 此不等式等价于且，解得或， ∴原不等式的解集为. 学以致用 【方法指导】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【方法小结】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后再用上述方法求解. 学以致用 【针对训练】解下列不等式： (1)； (2). 【解析】(1)根据商的符号法则，不等式可转化成不等式组 解这个不等式组，可得或. 故原不等式的解集为或. (2)不等式可改写为，即. 可将这个不等式转化成，解得. 所以原不等式的解集为. 2．不等式恒成立问题 【问题1】一元二次不等式的解集为，则二次函数的图象是怎样的? 【答案】二次函数的图象有两种情况，如图所示. 【问题2】若一元二次不等式的解集为，则，，应满足什么关系? 【答案】且. 一般地，“不等式在上恒成立”的几何意义是函数在上的图象全部在轴上方.是不等式的解集的子集. 令，恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题，即 恒成立⇔； 恒成立⇔. 抽象概括 【例2】对于一切实数，恒成立，求的取值范围. 【解析】已知恒成立， 若，显然，满足题意； 若，则即. 综上，的取值范围为. 学以致用 【方法指导】分类讨论，联想二次函数的图象进行求解. 【方法小结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值