笔记&必记 第三章 函数的概念与性质-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

☑笔记&必记 第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 1.函数的概念 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B 定义 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 对应关系 y=f(x),x∈A 要 定义域 x的取值范围 素 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 3.区间及有关概念 (1)一般区间的表示. 设a,b∈R,且a<b,规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤.x≤b} 闭区间 [a,b] (x a<x<b 开区间 (a,b) 。 r a<r<b) 半开半闭区间 a,b) {x|a<x≤b 半开半闭区间 (a,b] (2)特殊区间的表示. 定义 R {xlx≥a} xx>a xxsa) (xx<a) 符号 (-∞，十∞) [a,+∞) (a,+o∞) (-0,a (-0∞，a) 【名师点睛】区间是连续的实数集 区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开，且区间的左端点必小于右端点. 用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圆表示不包括在区间内的端，点。 当区间的一端含有“一∞”或“十∞”时，这一端必须用小括号. 【例3一1一1】判断下列各组函数是否表示同一个函数. (1)f(x)=2x+1与g(x)=w4.x+4x+1; (2f=t二与g()=x-1: x-1,x≥1， (3)f(x)=|x-1|与g(x)= 1-x,x<1; (4)f(n)=2-1与g(n)=2+1(n∈Z). 【解】(1)g(x)=2x+1, f(x)与g(x)的对应关系不同，因此不表示同一个函数； 10 ·数学 第三章函数的概念与性质 (2)f(x)=x一1(x≠0)， f(x)与g(x)的定义域不同，因此不表示同一个函数； x-1,x≥1， (3)f(x)= 1-x,x1, f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此表示同一个函数： (4)f(n)与g(n)的定义不同，因此不表示同一个函数.（在n∈Z时，2n-1和2n十1是相同的对应关系) 【名师点睛】若两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相同；若两个函数的对应关系不相同，则这两 个函数不相同：即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域 和值域不能唯一地确定函数的对应关系 【例3一1一2】求下列函数的定义域，并用区间表示. (1)f(.x)=v4-x x十1； 1 (2)g(x)=V2x+3- /2-x x 4-x≥0， 【解】(1)根据题意，有 x≤4， 解得 x+1≠0， x≠-1， 所以f(.x)的定义域为(-∞，一1)U(一1,4]. 2x十3≥0， (2)根据题意，有2-x>0,所以-<x<2且x≠0， x≠0， 故画载g)的定又越为[-号0)U0.2). 【名师点睛】已知函数的解析式求其定义域的常见类型： (1)若解析式为分式，则要求分母不等于零； (2)若解析式为偶次根式，则要求被开方的式子大于或等于零； (3)零的零次幂没有意义； (4)如果f(x)是由几部分数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数构成的集合. 4.函数的表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 优点 缺点 y 2.8 只能近似地求出 用图象表示两 能形象、直观地 图象在x轴上图象在y轴上 自变量的值所对 图象法个变量之间的 0.6--- 表示出函数的变 的投影 的投影 012 应的函数值，而且 对应关系 化情况 定义域是[1,2]，值域 有时误差较大 是[0.6,2.8] x123 不需要计算就可 列出表格表示 只能表示自变量 表格中自变量 表格中相应y y0-11 以直接看出与 列表法两个变量之间 取较少的有限值 x的取值集合 的取值集合 定义域是(1,2,3}，值 变量的值相对应 的对应关系 的对应关系 域是{0，-1,1》 的函数值 数学 ☑笔记&必记 续表 表示法 含义 定义域 值域 示例 优点 缺点 (1)简明、全面地 用数学表达式 使解析式有意 函数y=√的定义域概括了变量间的 不够形象、直观， 表示两个变量 因变量y的取 解析法 义的自变量x 之间的对应 是{x|x≥0}，值域是 关系：(2)可以求有的函数不能用 值范围 的取值范围 {yly≥0} 任意一个自变量解析式表示出来 关系 所对应的函数值 【温馨提示】应用三种方法表示函数的注意事项： (1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域：当x∈R时，定义域常省略。 (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征