专题3.1 概率的进一步认识【九大题型】-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题3.1 概率的进一步认识【九大题型】 【北师大版】 【题型1 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 1 【题型2 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 3 【题型3 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 7 【题型4 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】 9 【题型5 列举法或树状图求概率（电路问题）】 11 【题型6 列举法或树状图求概率（数字问题）】 14 【题型7 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 16 【题型8 利用频率估计概率】 19 【题型9 统计概率综合】 22 【知识点1 用列表法求概率】 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。 列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。 【知识点2 用树状图求概率】 当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。 （2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。 【题型1 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【例1】（2022•兰考县二模）现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况，再由概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的有3种情况， ∴两次抽取的卡片上数字之和大于5的概率为， 故选：B． 【变式1-1】（2022•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为2， 所以点P（m，n）在第二象限的概率； 故选：D． 【变式1-2】（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　　． 【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种， ∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为， 故答案为：． 【变式1-3】（2022•新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0的结果有6种， ∴这两张卡片上的数字的积恰好是0的概率是， 故选：C． 【题型2 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【例2】（2022•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再从中找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的结果情况，进而求出相应的概率． 【解答】解：用列表法表示所有空白出现的结果情况如下： 共有8种能可能出现的结果，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种， 所以两个转盘的指针都不落在“1