2.2.4　均值不等式　同步练习——2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.4　均值不等式 课后练习 1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是(　　). A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 2.若x>0,y>0,则“x+2y=2”的一个充分不必要条件是(　　). A.x=y B.x=2y C.x=2,y=1 D.x=y,y=1 3.若0<a<b且a+b=1,则下列选项中值最大的是(　　). A. B.a2+b2 C.2ab D.a 4.(多选题)若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中恒成立的是(　　). A.2(a2+b2)≥(a+b)2 B.a+b≥2 C. D. ≥2 5. + (x>1)的最小值为(　　). A. B.3 C. D. 6.在不等式a2+4≥4a中,等号成立的条件为　　　　　　.  7.设a>0,b>0,且不等式≥0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　.  8.已知x,y都是正数, (1)若xy=15,则x+y的最小值是　　　　;  (2)若x+y=15,则xy的最大值是　　　　.  9.设a,b,c都是正数,试证明不等式: ≥6. 10.已知a,b都是正实数,且=b-a. (1)求证:a>1. (2)求b的最小值. 参考答案 1.B　【解析】∵a2+1-2a=(a-1)2≥0, ∴当a=1时,等号成立. 2.C　【解析】∵x>0,y>0,∴x+2y≥2,当且仅当x=2y时,等号成立, 故“x=2,y=1”是“x+2y=2”的充分不必要条件. 3.B　【解析】∵a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2·2=,又a≠b,∴a2+b2>. 由均值不等式的性质可得a2+b2≥2ab,又a≠b,∴a2+b2>2ab. ∵0<a<b且a+b=1,∴a<. 综上所述,a2+b2的值最大. 4.AD　【解析】∵a2+b2≥2ab, ∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,故A成立. 当a<0,b<0时,B,C显然错误. ∵ab>0,∴+≥2 =2,当且仅当a=b时,等号成立,故D成立.综上,AD恒成立. 5.A　【解析】因为x>1,所以x-1>0,所以+=(x-1)++≥2+=, 当且仅当=,即x=7时等号成立,所以原式的最小值为. 6.a=2　【解析】令a2+4=4a,则a2-4a+4=0,解得a=2. 7.{k|k≥-4}　【解析】因为a>0,b>0,所以原不等式可化为k