第1章 §1.4.2 充要条件（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第1册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件． 答案　A 2．“a＞b”是“a＞|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a＞|b|⇒a＞b，而a＞b推不出a＞|b|. 答案　B 3．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，由集合的包含关系可知选A． 答案　A 4．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件． 解析　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 答案　既不充分也不必要 5．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________． 解析　由x2＞1，得x＜－1或x＞1.又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x2＞1”，但由“x2＞1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 答案　－1 6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. (2)q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [能力提升] 7．(多选)在整数集Z中，被5除所得作数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.则下列结论正确的是(　　) A．2022∈[2] B．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] C．－3∈[3] D．整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]” 解析　A：2022除以5，所得余数为2，满足[2]的定义，故正确； B：整数集Z就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确； C：－3＝5×(－1)＋2，故－3∉[3]，故错误； D：设a＝5n1＋m1，b＝5n2＋m2，n1，n2，∈Z，m1，m2∈{0,1,2,3,4}，则a－b＝5(n1－n2)＋m1－m2； 若整数a，b属于同一“类”，则m1－m2＝0，所以a－b∈[0]； 反之，若a－b∈[0]，则m1－m2＝0，即m1＝m2，a，b属于同一“类”． 故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”，正确． 故选ABD. 答案　ABD 8．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝________. 解析　当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 答案　－2 9．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的________条件． 解析　因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab＞0，由ab＞0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab＞0，由ab＞0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|. 答案　必要不充分 10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明　(1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根， 设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 由根与系数的关系知：x1x2＝1>0， ∴x1，x2同号， 又∵x1＋x2＝－m≤－2， ∴x1，x2同为负根． (2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1， ∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2 ＝－＝－≥0. ∴m≥2.综上(1)，(2)知命题得证． [探索创新] 11．已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于