全书-2022-2023学年高中数学必修5【金版新学案】同步导学教师用书（人教A版）电子教辅

1．1　正弦定理和余弦定理 1．1.1　正弦定理 [新知初探] 知识点一　正弦定理 (1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． (2)表达式：＝＝． ◎ 思维启迪 1．正弦定理的变形公式： 正弦定理以下变形，可直接应用． (1)asin B＝bsin A；asin C＝c sin A；bsin C＝csin B(交叉相乘)； (2)a＝；sin B＝； (3)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)； (4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 知识点二　解三角形 (1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． (2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． ◎ 思维启迪 2．利用正弦定理解三角形的步骤： (1) (2)―→ 3．利用正弦定理解三角形的注意事项： (1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． (2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时常结合几何作图进行判断． [自主练习] 1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确． 答案：　B 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：　由三角形内角和定理得： C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°. 由正弦定理得： c＝＝＝2. 答案：　D 3．在△ABC中，已知＝2，则其外接圆的直径为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：　由正弦定理＝＝＝2R(其中R是其外接圆的半径)，得2R＝2. 答案：　B 4．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________． 解析：　由正弦定理，得＝， ∴sin B＝，∵C为钝角，∴B必为锐角， ∴B＝，∴A＝π－－＝， ∴A＝B，∴a＝b＝1. 答案：　1 题型一　已知两角及一边解三角形 在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b. [思路点拨]　解决本题可先利用三角形内角和定理求C，再利用正弦定理求b. [边听边记]　∵A＋B＋C＝180°， ∴C＝105°. ∵＝， sin 105°＝sin (45°＋60°)＝×＝， ∴b＝c·＝＝5(－). 【规律方法】　已知两角与一边求解三角形的基本解法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． ◎ 变式训练 1．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R. 解析：　因为A＋B＋C＝180°， 所以A＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理，得＝＝2R， 所以c＝＝＝5， 所以2R＝＝＝10，故R＝5. 题型二　已知两边及一边的对角解三角形 在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A，B，b. [思路点拨]　由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角． 解析：　因为＝， 所以sin A＝＝. 因为c>a，所以C>A，所以A＝. 由三角形内角和定理，B＝π－(A＋C)＝. 由正弦定理，＝， 得b＝＝＝＋1. 【规律方法】　已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．本例易忽视a<c，错误得到A＝或π. ◎ 变式训练 2．本例题中，把C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B，b. 解析：　因为＝， 所以sin C＝＝. 所以C＝或. 因为sin <2<，所以本题有两解． 当C＝时，B＝，b＝＝＋1.