2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (教师独具内容) 课程标准：1.会求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程根与系数的关系． 教学重点：1.一元二次方程的解集与判别式的关系.2.一元二次方程的解集与系数的关系． 教学难点：一元二次方程根与系数的关系． 核心素养：1.通过学习一元二次方程的解集与判别式的关系培养数学抽象素养.2.通过利用一元二次方程根与系数的关系求值提升数学运算素养． 　 　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次方程的解集 当方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，由Δ＝b2－4ac的符号情况决定方程的解集． (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为 ； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，记方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 1．求一元二次方程各项系数的注意事项 二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式． 2．运用判别式的前提 运用判别式解题时，特别注意一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的隐含条件a≠0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＝t＋1(t>0)的解集为{}．(　　) (2)方程x2＝m(m<0)的解集为{－}．(　　) (3)方程x2－4x＋4＝0的解集为{2}．(　　) (4)方程x2－2x－1＝0的解分别为x1，x2，则x1＋x2＝2.(　　) (5)方程(x－3)2＝5的解集为{3＋，3－}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．做一做 (1)下列一元二次方程中，没有实根的是(　　) A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2 (2)一元二次方程3(x＋3)＝4x(x＋3)的解集是(　　) A. B． C. D． 答案　(1)C　(2)B 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 一元二次方程的解集 例1　(1)一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　) A.2＝1 B．2＝1 C.2＝ D．2＝ [解析]　方程配方后得2＝1.故选B. [答案]　B (2)方程x－3＋2＝0的解集为(　　) A. B．{2,1} C．{4,1} D．{，1} [解析]　设＝y，则y≥0，且原方程可变为y2－3y＋2＝0，因此可得y＝2或y＝1，从而＝2或＝1，所以原方程的解集为{4,1}． [答案]　C (3)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　) A．k≤2 B．k≤0 C．k<2 D．k<0 [解析]　已知方程有两个不相等的实数根，则有Δ＝(－2)2－4×1×(k－1)>0，解得k<2.故选C. [答案]　C 如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解，而公式法是万能法． [跟踪训练1]　(1)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数 D．无实数根 答案　A 解析　因为Δ＝(－5)2－4×2×3＝25－24＝1>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A. (2)方程x2＋4x＋6＝0的解集为________. 答案　{－} 解析　因为a＝，b＝4，c＝6，所以Δ＝b2－4ac＝(4)2－4××6＝0，所以x＝＝＝－，所以所求方程的解集为{－}． (3)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是________. 答案　(－∞，1] 解析　由一元二次方程有实数根，可得Δ＝(－2)2－4m≥0，即m≤1. 题型二 一元二次方程根与系数的关系 例2　已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1和x2，求下列各式的值： (1)x＋x；(2)|x1－x2|(x1＋x2)． [解]　由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3. (1)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－2)×[(－2)2－3×(－3)]＝－26. (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×(－3)＝16， 所以|x1－x2|＝＝4， 所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8. (1)运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. (2)可以利用根与系