2.1.1 等式的性质与方程的解集-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案word（人教B版）

2.1.1　等式的性质与方程的解集 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解恒等式是进行代数变形的依据之一.2.理解方程的解集的定义，并会用集合的形式表示方程的所有解． 教学重点：1.等式的性质，恒等式的证明.2.求方程的解集． 教学难点：求方程的解集． 核心素养：通过利用十字相乘法分解因式、求方程的解集、证明恒等式提升数学运算素养和逻辑推理素养． 　 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c； (2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc，＝. 知识点二　恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 知识点三　方程的解 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值． 知识点四　方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．恒等式的证明 一般可以把恒等式的证明分为两类： (1)无附加条件的恒等式证明． (2)有附加条件的恒等式证明． 2．因式分解法解一元二次方程 (1)常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式． (2)几种常见的恒等式： ①(a＋b)(a－b)＝a2－b2； ②(a±b)2＝a2±2ab＋b2； ③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3， (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； ④a2＋b2＝(a＋b)2－2ab， (a－b)2＝(a＋b)2－4ab； ⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＝b，则3a＝3b.(　　) (2)若(a＋b)c＝0，则ac＋bc不一定等于0.(　　) (3)xy＋x2－2y2＝(x＋2y)(x－y)．(　　) (4)方程(2x＋1)－1＝x的解集为{2}．(　　) (5)方程(x－3)(x－1)＝3的解集为{0,4}．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)＝的解集为(　　) A．x＝－ B． C．－17 D．{－17} (2)一元二次方程x2－x－6＝0的解集为(　　) A．{3，－2} B．{－3,2} C．{1,5} D．{－1，－5} (3)解方程t2x＋1＝x＋t(t为任意实数)． 答案　(1)B　(2)A (3)解　原方程变形为(t2－1)x＝t－1. ①当t≠±1时，x＝，因此方程的解集为； ②当t＝－1时，方程无解； ③当t＝1时，方程的解集为R. 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型一 常用乘法公式的应用 例1　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的结果是(　　) A．－2m2 B．0 C．－2 D．－1 [解析]　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2. [答案]　C (2)证明：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)(三数和平方公式)． [证明]　∵(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，∴等式成立． (1)使用公式化简时，一定要分清公式中的a，b分别对应题目中的哪个数或哪个整式． (2)利用公式化简时，要注意选择公式，公式选择恰当，可以有效地简化运算． [跟踪训练1]　(1)化简(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是(　　) A．8x2－8y2 B．8y2－8x2 C．8(x＋y)2 D．8(x－y)2 答案　B 解析　解法一：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2. 解法二：(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2. (2)如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(　　) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 答案　D 解析　(a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40