2.2.3 一元二次不等式的解法（教师用书）-【创新思维】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（人教B版2019）

2.2.3　一元二次不等式的解法 [学习目标]　1.通过实例了解一元二次不等式.2.掌握一元二次不等式的解法.3.会解简单的分式不等式． 授课提示：对应学生用书第43页 问题1　不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 问题2　类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 问题3　若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [自主练习] 1．不等式x>x2的解集是(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<0} C．{x|0<x<1} D．R 答案：C 2．不等式x2＋6x＋10<0的解集是(　　) A．∅ B．R C．{x|x>5} D．{x|x<2} 答案：A 3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　) A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 答案：C 4．不等式－x2＋x－2<0的解集为____________． 答案：R 授课提示：对应学生用书第44页 　不含参数一元二次不等式的解法 1．一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 2．一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． [例1]　求不等式4x2－4x＋1>0的解集． [解析]　因为4x2－4x＋1＝(2x－1)2，所以上述不等式可化为(2x－1)2>0，显然当x≠时此不等式成立，所以不等式的解集为－∞，∪，＋∞. 反思感悟　解一元二次不等式的常用方法 (1)因式分解法：此法主要用于一元二次不等式是特殊类型，即二次三项式能进行“十字相乘法”因式分解的情形． (2)配方法：此法适用情形较广，但要求对配方法较为熟练掌握． [跟踪训练1]　求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6；(2)－x2＋7x>6. 解析：(1)由x2－5x>6，得(x＋1)(x－6)>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞)． (2)由－x2＋7x>6，得(x－1)(x－6)<0. 所以不等式x2－7x＋6<0的解集为{x|1<x<6}． 　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)． [解析]　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当a＝0时，x2>0，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}． 综上所述， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为(x|x<a2或x>a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 反思感悟　解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系． [跟踪训练2]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R，a>0)． 解析：因为a>0，所以原不等式等价于x－(x－1)<0. ①当a＝1时，＝1，x－(x－1)<0无解； ②当a>1时，<1，解x－(x－1)<0，得<x<1； ③当0<a<1时，>1，解x－(x－1)<0， 得1<x<. 综上，当a>1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当0<a<1时，不等式的解集为. 　解简单的分式不等式 [例3]　解下列不等式： (1)≥0；(2)>1. [解析]　(1)∵≥0， ∴ ∴ 即x<－或x≥. ∴原不等式的解集为. (2)原不等式可化为>0， 即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 反思感悟　解分式不等式的关注点 (1)根据实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下： ①>0⇔f(x)g(x)>0； ②<