第十八章 平行四边形 第13课 中点四边形 同步练习 2021—2022学年人教版数学八年级下册

第13课 中点四边形 新课学习 中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得到的四边形. 1.（例1）如图，顺次连接四边形的各边中点.求证：所得的中点四边形是平行四边形. 2.如图，点分别是各边中点，四边形是什么特殊的四边形？请证明. 3.（例2）如图，分别是矩形各边中点.求证：四边形是菱形. 4.如图，在四边形中，，点分别是各边的中点.四边形是什么特殊的四边形？请证明. 5.（例3）如图，点分别是菱形各边中点.求证：四边形是矩形. 6.如图，在四边形中，对角线相交于点，且，点分别是的中点.求证：四边形是矩形. 7.（例4）如图，点分别是正方形各边的中点，则四边形是 形. 8.如图，在四边形中，分别是的中点，则四边形是 形. 课堂总结： — 普通四边形 平行四边形 对角线 相等的四边形（如矩形） 对角线 垂直的四边形 （如菱形） 对角线 相等且垂直的四边形（如正方形） 中点四边形的形状 过关检测 第1关 9.如图，在中，分别是边上的中点. 求证：四边形是菱形. 10.如图，分别是的边上的点，且. （1）求证：≌； （2）若分别是的中点，连接，试判断四边形的形状，并证明的结论. 第2关 11.如图，在四边形中，，点分别是的中点.求证：与互相垂直平分. 第3关 12.如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，垂足分别为点. （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； （2）在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第13课 中点四边形 证明：连接BD. ∵E，H是中点， ∴EHBD.同理FGBD， ∴EHFG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 2.解四边形EFGH是平行四边形.证明如下：连接BD. ∵E，H是中点，∴EHBD. 同理FGBD，∴EHFG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 3.证明：连接BD，AC. ∵E，H是中点， ∴EHBD. 同理FGBD，∴EHAC， ∴EHFG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∴EH=EF. ∴▱EFGH是菱形. 解:四边形EFGH是菱形.证明如下： ∵E，H是中点， ∴EHBD. 同理FGBD，∴EHFG， ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵E，F是中点， ∴EF=AC. 又∵AC=BD， ∴EH=EF， ∴▱EFGH是菱形. 证明：连接BD，AC交于点0. ∵H，G是中点， ∴HGAC. 同理EFAC，∴HGEF. ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵H，E是中点，∴HEBD 又∵HG∥AC，HE∥DB，且∠NOM=90°， ∴四边形HNOM是矩形， ∴∠EHG=90°，∴▱HEFG是矩形. 证明：∵H，G是中点， ∴HGAC. 同理EFAC.∴HGEF， ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵G，F是中点，∴GF∥DB. ∵GF∥DB，HG∥AC，∠COD=90°， ∴四边形MONG是矩形，∴∠HGF=90° ∴四边形EFGH是矩形. 7.正面8.正方 9.证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴DEAC. 又∵点F是中点， ∴AF=AC， ∴DEAF， ∴四边形ADEF是平行四边形. 同理EHAB， ∵AB=AC， ∴DE=EF， ∴▱ADEF是菱形. 10.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AB=CD. 在△ABE和CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS). 解：四边形MFNE是平行四边形.证明如下： ∵M，N是中点， ∴ME=BE，NF=DF. 由（1）知BE=DF，∴ME=NF. ∵△ABE≌△CDF， ∴∠AEB=∠CFD. 又∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠MBF， ∴∠MBF=∠CFD， ∴ME∥DF，∴MENF， ∴四边形MFNE是平行四边形. 11.证明：连接MP，PN，MQ，NQ. ∵M，P是中点， ∴MPAB. 同理NQAB， ∴四边形MPNQ是平行四边形， ∵P、N分别是中点， ∴PN=DC， ∵AB=CD，∴PN=MP， ∴▱MPNQ是菱形， ∴MN与PQ互相垂直平分。 12.解：（1）BC=2AB.证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠B=∠C=90° ∵BC=2AB，点E是BC中点 ∴AB=BE=CE=CD ∴∠AEB=45°，∠DEC=45°， ∴∠AED=180°－45°－45°=90° ∴四边形PHEF是矩形. （2）点P运动到AD的中点时， 易证△ABE≌△DCE，∴AE=DE， ∵点P是AD的中点， ∴∠AEP=∠AED=45° ∴∠FPE=45°，∴∠FPE=