1.2.1 空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

1.2　空间向量基本定理 第1课时　空间向量基本定理 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)， 使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型目录】 题型一、空间的基底 题型二、用空间基底表示向量 题型一、空间的基底 1．（多选）若向量{，，}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，，2 B．，， C．，， D．2，， 【答案】ABD 【分析】直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论． 【详解】解：对于A：由于向量{，，}构成空间的一个基底，且满足，故A正确； 对于B：由于，故B正确； 对于C：由于，故C错误； 对于D：由于，故D正确． 故选：ABD． 2．（多选）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，，两两共面，则，，共面 C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AD 【详解】解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确； ，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误； 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误； 若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 故选：AD. 3．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________. 【答案】0 【详解】因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)． 所以所以所以x＋y＝0. 题型二、用空间基底表示向量 4．三棱柱中，为棱的中点，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B 5．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，． (1)证明：、、、四点共面． (2)若，求． 【详解】（1）证明：在上取一点，使得，连接、， 在平行六面体中，，，， 且，且， 所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 、、、四点共面． （2）解：因为 ， 即，，， ． 6．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________. 【答案】 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 1．下列结论错误的是(　　) A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 D．若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 【答案】C 【详解】由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误． 2．已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意和空间向量的共面定理， 结合向量（）+（）＝2， 得与是共面向量， 同理与是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面， 所以与、构成空间的一个基底． 故选：C． 3．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点， 则用向量，，表示向量应为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，所以， 因为点，分别是线段，的中点， 所以， 所以． 故选：A． 4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示) 【答案】a＋b＋c 【详解】＝＋＝＋×(＋)＝＋×(－＋－) ＝＋＋＝a＋b＋c. 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【