1.1.1 空间向量及其线性运算-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第一章《空间向量与立体几何》 1.1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 知识点一　空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 知识点四　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使p＝xa＋yb. 【题型目录】 题型一、空间向量的有关概念 题型二、空间向量的加减运算 题型三、空间向量的线性运算 题型四、空间共线向量定理 题型五、空间共面向量定理 题型一、空间向量的有关概念 1．判断下列命题的真假． ①空间向量就是空间中的一条有向线段；( ) ②不相等的两个空间向量的模必不相等；( ) ③任一向量与它的相反向量不相等；( ) ④向量与向量的长度相等．( ) 2．下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 题型二、空间向量的加减运算 3．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简： (1)； (2)，并在图中标出化简结果的向量. 题型三、空间向量的线性运算 4．已知在空间四边形中，是的重心，分别为边和的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量． (1)； (2)； (3) 题型四、空间共线向量定理 5．A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线． 6．设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则实数______________； 题型五、空间共面向量定理 7．给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ） A．若存在实数，，使，则与，共面； B．若与，共面，则存在实数，，使； C．若存在实数，，使则点，，A，共面； D．若点，，A，共面，则存在实数，，使． 8．已知A，，三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与A，，一定共面的是（       ） A． B． C． D． 9．如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 1．已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 2．在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是（       ） A． B． C． D． 3．如图，在斜棱柱中，AC与BD的交点为点M，，，，则（          ） A． B． C． D． 4．已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__． 5．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式： ①． ②． ③． ④