3.1 函数的概念及其表示-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

3.1 函数的概念及其表示 思维导图 新课标要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 知识梳理 一、　函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 二、　同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同． 三、　区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 四、　函数的表示方法 五、　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 名师导学 知识点1 函数关系的判断 (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【例】（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对四个选项一一判断. 【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值. 对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误； 对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误； 对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确； 对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误； 故选:C 【变式训练1-1】（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性， A，C，D满足函数的定义， 故选：B 知识点2 求函数值 函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 【例2-1】（2021·全国·高一课前预习）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【解】(1)=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1； (2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51； (3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40； =g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55. 【例2-2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数． (1)求，的值； (2)求证：的定值； (3)求的值． 【解】（1）因为， 所以，； （2），是定值； （3）由（2）知，因为， ，，……，， 所以. 【变式训练2-1】（2022·湖南·高一课时练习）已知函数，求的值． 【解】由题意，函数， 所以， 所以. 【变式训练2-2】（2022·湖南·高一课时练习）已知定义域为R的函数和，求，，，的值． 【解】由已知，，同理，， 所以，，，． 知识点3 函数的定义域（重点） 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负