专题1.4 四边形中的最值问题专项训练（30道）-2022-2023学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

专题1.4 四边形中的最值问题专项训练（30道） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！ 一．选择题（共10小题） 1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（　　） A．43 B．2 C．26 D．4 【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求． 由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形， ∴PC＝PF， ∵PB＝EF， ∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF， ∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴AC4， ∴AC＝2AB， ∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4， ∵∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝90°， ∴AE2， 故选：B． 2．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．7 C．7 D． 【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出ADAM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题； 【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM． 由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴ADAM， ∴当AM的值最大时，AD的值最大， ∵AM≤AC+CM， ∴AM≤7， ∴AM的最大值为7， ∴AD的最大值为， 故选：D． 3．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（　　） A．有最大值a B．有最小值a C．是定值a D．是定值a 【分析】连接BP，作EF⊥BC于点F，由正方形的性质可知△BEF为等腰直角三角形，BE＝a，可求EF，利用面积法得S△BPE+S△BPC＝S△BEC，将面积公式代入即可． 【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°， ∵正方形的性质可知∠EBF＝45°， ∴△BEF为等腰直角三角形， ∵正方形的边长为a， ∴BE＝BC＝a， ∴BF＝EFBEa， ∵PM⊥BD，PN⊥BC， ∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC， ∴BE×PMBC×PNBC×EF， ∵BE＝BC， ∴PM+PN＝EFa． 则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值a． 故选：D． 4．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可． 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2CE． 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP． 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1PCF． ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值． ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1． ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°． ∴∠DP2P1＝90°． ∴∠DP1P2＝45°． ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长． 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1． ∴BP1． ∴PB的最小值是． 故选：C． 5．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【分析】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，B