专题2.1-2.2 认识无理数、平方根-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

专题2.1-2.2 认识无理数、平方根 ( 目标导航 ) 1.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解。 2.理解数的算术平方根和平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根。 3.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题。 ( 知识精讲 ) 知识点01 认识无理数 无理数的定义：无限不循环小数。有限小数和无限循环小数都称为有理数. 无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. 【知识拓展1】无理数的识别 例1．（2022·全国·八年级课时练习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）． 【答案】，，（相邻两个之间有个）是有理数；（小数部分由相继的正整数组成）是无理数． 【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限循环小数属于有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫无理数）即可得． 【详解】解：，，（相邻两个之间有个）是有理数； （小数部分由相继的正整数组成）是无理数． 【点睛】本题考查了有理数和无理数，熟记定义是解题关键． 【即学即练】 1．（2022·江苏·徐州市七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：2，0，，，，，25%，， （1）分数集合：{                                           …}； （2）非负整数集合：{                                     …}； （3）有理数集合：{                                        …}； （4）无理数集合：{                                        …}． 【答案】见解析 【分析】根据无限不循环小数是无理数，以及有理数的分类即可得出答案． 【详解】解：（1）分数集合：{ ，，25%，，…}； （2）非负整数集合：{2，0，…}； （3）有理数集合：{ 2，0，，，，25%，，…}； （4）无理数集合：{，，…}． 【点睛】本题考查了实数，有理数和无理数统称实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数． 【知识拓展2】无理数的证明 例2．（2022·山东·八年级课时练习）500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x是整数吗？为什么不是？（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？ 【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是. 【详解】试题分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论． （1）不是，∵1<2<4，而x2=2 ∴1<x2<4，若x>0，1<x<2，∴在1和2之间不存在另外的整数. （2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数. 点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 【即学即练】 1．（2022·全国·八年级单元测试）设a是有理数，x是无理数，证明：是无理数，且当时，是无理数． 【答案】详见解析 【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可． 【详解】假设是有理数，则也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数． 同理假设是有理数，也是有理数，这与题中“是无理数”矛盾，所以是无理数． 【点睛】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点． 知识点02 算术平方根的概念及性质 1.算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 【微点拨】 1.当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 【知识拓展1】算术平方根 例1．（2021·湖南邵阳市·中考真题）16的算术平方根是___________． 【答案】4 【详解】正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根 ∵ ∴16的平方根为4和-4 ∴16的算术平方根为4 【即学即练1】 1．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）下列说法：①