3.2 双曲线（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2 双曲线 · 考纲要求 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． · 知识解读 知识点① 双曲线定义 1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 知识点② 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 知识点③直线与双曲线的位置关系及判定 直线：Ax＋By＋C＝0， 双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)， 两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. 则直线与双曲线的位置关系如下表： 位置关系 公共点个数 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ＜0 知识点④常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． · 题型讲解 题型一、双曲线的定义及其应用 例1．动点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是(　　) A．双曲线　 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 例2．若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．(5，＋∞) B．(－∞，3) C．(3,5) D．(－∞，3)∪(5，＋∞) 例3．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________． 例4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　) A．1　　 B．17 C．1或17　　 D．以上均不对 例5．已知点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　) A．6　　 B．8 C．10　　 D．12 题型二、双曲线的标准方程 例1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　) A．－y2＝1　　 B．－y2＝1 C．－＝1　　 D．x2－＝1 例2．若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是________． 例3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 例4．写一个焦点在y轴上且离心率为的双曲线方程________． 题型三、双曲线的简单几何性质 例1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　) A．2sin 40°　　 B．2cos 40° C．　　 D． 例2．(北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________． 例3．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是______