3.1 椭圆（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1 椭圆 · 考纲要求 1．掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 2．能用数形结合的思想解决椭圆有关问题． 3．了解椭圆的简单应用． · 知识解读 知识点① 椭圆的定义 1．在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在． 知识点② 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 几 何 性 质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴长|A1A2|＝2a；短轴长|B1B2|＝2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 知识点③ 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)． 知识点④直线与椭圆的位置关系及判定 位置关系 公共点个数 组成的方程组的解 判定方法(利用判别式Δ) 相交 2个 2个解 Δ＞0 相切 1个 1个解 Δ＝0 相离 0个 无解 Δ＜0 知识点⑤常用结论 1．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝；最长的焦点弦是长轴． 2．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 (1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|； (2)直线AB的斜率kAB＝－．　　 3．与椭圆 ＋＝1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ>－b2)． 4．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c)． · 题型讲解 题型一、椭圆的定义及其应用 例1．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例2．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1上一点，则△PF1F2的周长等于(　　) A．16 B．18 C．20 D．不确定 例3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 例4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜ C．＜m＜16 D．m＞ 例5．设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________． 题型二、求椭圆的标准方程 例1．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1　　 B．＋＝1 C．＋＝1　　 D．＋＝1 例2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为(　　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 例3．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________． 例4．已知椭圆中心在原点，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点，则椭圆的标准方程为________． 题型三、椭圆的简单几何性质 例1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　) A．