3.4 椭圆的综合应用 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬3.4 椭圆的综合应用 知 识 题 型 类 型 椭圆的综合应用 面积问题 重点、考点、难点 定值问题 重点、考点、难点 定点问题 重点、考点、难点 四点共圆问题 重点、考点、难点 角平分线问题 重点、考点、难点 直线与圆的综合应用的一般步骤： 步骤 具体内容 第一步 设直线方程，注意讨论直线斜率是否存在 第二步 联立直线与椭圆方程消元化简 第三步 根据韦达定理写出两根之和与两根之积 第四步 根据题中所给的条件，带入韦达定理 考点一 面积问题 已知椭圆的两焦点为和，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为8．例1 （1）求椭圆的方程； （2）若△的面积为，求直线的方程． 已知椭圆的焦距为2，四个顶点构成的四边形面积为．例2 （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率存在的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，，若点在椭圆上，请判断的面积是否为定值． 已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点的直线与椭圆交于，两点，线段中点为，为坐标原点，过，的直线交椭圆于，两点．例3 （1）求椭圆的方程； （2）四边形面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由． 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且短轴上的一个顶点和、构成边长为2的等边三角形．变1 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）设为椭圆的左顶点，若过点的直线与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于点、，且，求直线的方程． 已知椭圆的离心率为，短半轴长为．变2 （1）求的标准方程； （2）若不过坐标原点的直线与交于，两点，延长线段，与分别交于点，，若直线，的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值． 平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，过焦点的最短弦长为.变3 （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点，求的面积的最大值. 考点二 定值问题 已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．例1 （1）求的方程； （2）设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值． 已知、分别为椭圆的左、右焦点，为上的一个动点，其中到的最短距离为1，且当△的面积最大时，△恰好为等边三角形．例2 （1）求椭圆的方程； （2）设直线交椭圆于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，且．试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，以原点为圆心､椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.例3 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于两点（直线与轴不重合）.在轴上是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 已知椭圆C：＝1的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，面积的最大值为．例4 （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M的直线l：y=kx+1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点D．点Q为直线OP上一动点，且，求证：点Q到y轴距离为定值． 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上一动点，面积的最大值为2.变1 （1）求椭圆的方程； （2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接交椭圆于点，为坐标原点.证明：为定值. 已知P为曲线C上一点，M，N为圆与x轴的两个交点，直线PM，PN的斜率之积为．变2 （1）求C的轨迹方程； （2）若一动圆的圆心Q在曲线C上运动，半径为．过原点O作动圆Q的两条切线，分别交椭圆于E、F两点，当直线OE，OF的斜率存在时，是否为定值？请证明你的结论． 已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一个动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形．变3 （1）求椭圆的方程； （2）设直线交椭圆于，两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，，且．试探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 设、为椭圆：的左、右焦点，焦距为.双曲线：与椭圆有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为、两点，若有.变4 （1）求椭圆的方程；（答案） （2）设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值. 考点三 定点问题 设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，，，，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，．例1 （1）求椭圆的方程； （2）若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由． 已知椭圆的左、右顶点分别，，上顶点为，△的面积为3，的短轴长为2．例2 （1）求的方程； （2）斜率不为0的直线交于，两点（异于点，为的中点，且，证明：直线恒过定点． 已知椭圆的离心率为，一个焦点的坐标为．例3 （1）求椭圆的