2.5.1 圆的标准方程 (Word教参)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案 湘教版（2019）

2.5　圆的方程 2．5.1　圆的标准方程 学习目标 知识导图 1.会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2.能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．(数学运算) 阅读课本，思考以下问题 1．在平面内，圆是如何定义的？ 2．圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么？各要素与圆具有怎样的关系？ 3．在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r>0)．M(x，y)为圆上任意一点，那么点M满足的条件是什么？⊙A如何用集合来表示？ 4．将点M适合的条件用坐标表示并化简会得到一个什么样的等式？　　　 知识点一　圆的标准方程 1．圆的定义 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{P||PC|＝r}． 2．圆的标准方程 (1)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 微练习 1．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4. 答案：B 知识点二　点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|. 位置关系 几何法 图象 代数法 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 微练习 2．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．在圆上　　　　 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 解析：将点P的坐标代入圆的方程，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外． 答案：B 　求圆的标准方程 例1　求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为(3,4)且经过坐标原点； (2)经过A(3,1)，B(－1,3)且圆心在直线3x－y－2＝0上． [解析]　(1)∵圆心(3,4)，设半径为r，又圆过坐标原点，∴r＝＝5， ∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 依题意得 即解得 ∴所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 法二：直线AB的斜率k＝＝－， 可知线段AB垂直平分线m的斜率为2.A，B中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2. 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 又圆心在直线3x－y－2＝0上，∴圆心为这两条直线的交点，联立方程组得设圆心为C，∴圆心坐标为C(2,4)． 又半径r＝|CA|＝，则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 法三：设圆心为C，∵圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a－2)． 又∵|CA|＝|CB|. 故＝ ， 解得a＝2，∴圆心为(2,4)，半径r＝|CA|＝. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 　确定圆的标准方程的方法 (1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可． (2)待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． 1．圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋(y－4)2＝4 解析：设圆心坐标为(a,0)，则(1－a)2＋4＝4，∴a＝1， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4. 答案：A 2．与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1关于原点对称的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 解析：圆心坐标为(1，－2)，半径为1， 圆心(1，－2)关于原点的对称点为(－1,2)，此即为所求圆的圆心， 即所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.