4.1.2 数列的递推公式与前n项和（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　数列的递推公式与前n项和 [学习目标]　1.理解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项.2.理解数列{an}的前n项和的含义，会用an与Sn的关系求通项公式an. 知识点一　递推公式 [问题导引1]　数列1，2，4，8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？所有的数列都有递推公式吗？ 提示：　an＋1＝2an与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． [问题导引2]　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？ 提示：　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． [点拨]　(1)与“不是所有的数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)当用递推公式给出一个数列时，必须给出： ①“基础”——数列{an}的第1项(或前几项)； ②递推关系——数列{an}的任意一项ak与它的前一项ak－1(k≥2，k∈N*)(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个式子表示． (3)递推公式也是给出数列的一种方法．事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式．如果用符号要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项． 类型一　由递推公式求数列的项 (链接教材P6例5)(1)设数列{an}满足写出这个数列的前5项； (2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，求a2 022. 解析：　(1)由题意可知a1＝1，a2＝3－＝2，a3＝3－＝，a4＝3－＝，a5＝3－＝3－＝. (2)a2＝＝＝－3， a3＝＝＝－， a4＝＝＝， a5＝＝＝2＝a1. 故{an}是周期为4的数列． 所以a2 022＝a4×505＋2＝a2＝－3. 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． 即时练1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，写出数列的前6项． 解析：　因为a1＝3，an＋1＝2an＋1， 所以a2＝2×3＋1＝7，a3＝2×7＋1＝15， a4＝2×15＋1＝31，a5＝2×31＋1＝63， a6＝2×63＋1＝127. 即时练2.若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 023. 解析：　a2＝＝＝－1， a3＝＝＝， a4＝＝＝2＝a1， a5＝＝＝－1， 所以{an}是周期为3的数列， 所以a2 023＝a674×3＋1＝a1＝2. 学生用书第7页 知识点二　数列的前n项和的概念 [问题导引]　在an和Sn的关系中，an＝Sn－Sn－1是否对任意n∈N*成立？ 提示：　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，且只有n＝1时的结果符合n≥2时an的表达式，这时，公式an＝Sn－Sn－1才对任意n∈N*成立． 1．定义 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 2．数列的前n项和与通项公式的关系 an＝ [点拨]　(1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示． (2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝ 类型二　根据数列的前n项和求通项公式 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝8n＋5. 解析：　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式． 所以an＝4n－5. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝8n＋5－(8n－1＋5)＝7×8n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝13，不符合上式． 所以an＝ 由数列的前n项和求通项公式的“三步曲”