4.1.1 数列的概念与简单表示法（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

4．1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学习目标]　1.借助日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2.理解数列与函数的关系，体会数列的函数特性.3.理解数列的通项公式，能根据数列的前n项写出数列的通项公式． 知识点一　数列的概念 [问题导引]　什么是数列？如果组成两个数列的数相同但排列顺序不同，那么它们是相同的数列吗？ 提示：　按照确定的顺序排列的一列数称为数列． 从数列的定义可以看出，组成数列的数是按一定顺序排列的，如果组成数列的数相同但排列次序不同，那么它们就不是同一数列． 1．数列的概念 (1)定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (3)表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． [点拨]　(1)概念中的“一列数”，即不止一个数． (2)概念中的“确定的顺序”，即数列中的数是有序的． (3)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列，a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项． (4)数列中的项与项的序号是不同的．数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的具体位置． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [点拨]　有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，对于有穷数列，要把末项(数列的最后一项)写出；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，an，…，对于无穷数列，由于无法写出末项，因此要用“…”结尾． 类型一　数列的概念及分类 下列关于数列的说法正确的是(　　) A.数列4，7，3，4的首项是4 B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D.a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 A　[根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．故选A.] 学生用书第2页 数列及其分类的判定方法 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． (2)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需看数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． (3)数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列． 即时练1.(多选)下列关于数列的叙述不正确的是(　　) A．数列1，2，3与3，2，1是同一个数列 B．数列1，4，9，…是递增数列 C．{0，1，2，3，4，5}是有穷数列 D．数列1，2，3，4，……，n2是无穷数列 ACD　[数列1，2，3与3，2，1的顺序不同，不是同一个数列，选项A错误．由于数列为1，4，9，…，故数列{an}是递增数列，选项B正确．{0，1，2，3，4，5}是集合，而不是数列，故选项C错误．数列1，2，3，4，…，n2，共有n2项，是有穷数列，故选项D错误．故选ACD.] 知识点二　数列的表示方法 [问题导引1]　为什么说数列是一种特殊函数？ 提示：　由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下列对应关系： 根据函数定义，上述对应关系可以看作是自变量为序号n，函数值为an，记an＝f(n). 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}． [问题导引2]　用图象法表示数列时，其图象有什么特点？ 提示：　其图象是一些离散的点． 1．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数