4.3.2.2 等比数列前n项和的应用（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的应用 [学习目标]　1.巩固等比数列的前几项和公式.2.能利用等比数列前几项和公式解决实际问题.3.掌握数列求和的常用基本方法． 知识点　等比数列求和的实际应用 [问题导引]　在较为陌生的情境中，识别数列的等比关系，继而用等比数列的知识解决问题。可见，数列等比关系的判断是首要条件，结合具体问题，你有哪些体会？ 提示：　 首先构建数列模型； 其次由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； 最后利用等比数列前n项和公式进行计算． 解数列应用题的具体方法步骤 (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少． ②弄清题目中主要的已知事项． (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达． (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式． [点拨]　(1)数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份； (2)正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． 学生用书第44页 类型一　等比数列求和的传统数学文化问题 (2021·山东省潍坊市模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了六天后到达目的地，求每天走的路程．”在这个问题中，此人第五天走的路程为(　　) A．3里 B．6里 C．12里 D．24里 C　[记每天走的路程里数构成数列{an}，可知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，则a5＝a1×()4＝12，故此人第五天走的路程为12里．故选C.] 类型二　等比数列求和的实际应用问题 (链接教材P38例11)为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1 000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购m辆． (1)求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)； (2)若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值． 解析：　(1)设an，bn分别为甲省、乙省在第n个月新购校车的数量．依题意，知{an}是首项为10，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为40，公差为m的等差数列，所以{an}的前n项和Pn＝， {bn}的前n项和Tn＝ ＝40n＋， 所以经过n个月，两省新购校车的总数为 S(n)＝Pn＋Tn＝＋40n＋ ＝20＋40n＋ ＝20×＋n2＋n－20. (2)若计划在3个月内完成新购目标，则S(3)≥1 000.所以S(3)＝20×＋×32＋×3－20≥1 000，解得m≥277.5. 又m∈N*，故所求m的最小值为278. 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： (1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解； (2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解． 即时练1.(2022·湖南省益阳市期末)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．现有38石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮食，则“衰分比”为(　　) A． B． C． D． A　[设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝或q＝－(舍去).故选A.] 学生用书第45页 即时练2.小楠是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值20万元的收藏品M，受收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初价值的；从第4年开始，每年初M的价值比上年初价值增加4万元． (1)求第几年初开始M的价值超过原购买的价值； (2)记Tn(n∈N*)表示收藏品M前n年初的价值的平均值，求Tn的最小值． 解析：　(1)设第n(n∈N*)年初M的价值为an万元， 依题意，当1≤n≤3时，数列{an}是首项为20，公比为的等比数列， 所以an＝20×＝5×23－n. 故a2＝10，a3＝5，所以a3<a2<a1. 当n≥4时，数列{an}是以a4为首项，4为公差的等差数列， 又a4＝a3＋4＝9，所以an＝9＋(n－4)×4＝4n－