4.3.2.1 等比数列的前n项和公式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.理解等比数列错位相减的求和方法，能推导出等比数列的求和公式.2.掌握等比数列的前n项和公式，并能简单应用.3.理解等比数列前n项和的性质，并能解决较为简单的数学问题． 知识点一　等比数列前n项和公式 [问题导引1]　等比数列求和公式的推导过程中，使用了何种方法技巧？ 提示：　错位相减法． [问题导引2]　等比数列的前n项和公式有哪两种形式？如何选择这两个求和公式？ 提示：　知道首项a1、公比q(q≠1)和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q(q≠1)，可以用Sn＝.在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 等比数列的前n项和公式及其函数特征 (1)已知等比数列{an}，首项为a1，公比为q，则其前n项和公式Sn＝ (2)①Sn与q的关系：当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－，设A＝，则上式可写成Sn＝A－Aqn的形式．由此可见，数列{Sn}的图象是函数y＝A－Aqx图象上的一群孤立的点． 当公比q＝1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝na1，则数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上的一群孤立的点． 由Sn－＝－·qn知数列{Sn－}是等比数列． ②Sn与an的关系：当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－an，设A＝－，B＝，则上式可写成Sn＝Aan＋B的形式，则Sn是an的一次函数． [点拨]　(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． (2)当q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化． 当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便． (3)对于等比数列的a1，an，n，q，Sn五个相关量，知道其中任意三个量，都可以利用方程求出其余两个量． 学生用书第39页 类型一　等比数列的前n项和公式的基本运算 (链接教材P35例7)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1)若an＝3×2n，求S6； (2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解析：　(1)因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2，于是S6＝＝378. (2)由题意，得解得 从而S5＝＝＝. (3)方法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件，得所以a1·2n＝192，所以2n＝. 于是189＝a1(2n－1)＝a1， 所以a1＝3.又因为2n－1＝＝32，故n＝6. 方法二：由公式Sn＝及已知条件，得189＝，解得a1＝3.又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体． 即时练1.数列1，3，…，3n－1，…的前n项和为(　　) A．3n－1　　　　　　　　　 B．－ C． D．－ B　[Sn＝＝－.故选B.] 即时练2.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________． 解析：　设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得则a8＝a1q7＝×27＝32. 答案：　32 即时练3.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：　因为在数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6. 答案：　6 类型二　等比数列的前n项和公式的综合运算 角度1　与Sn有关的等比数列的判断 (2022·山东潍坊高二模拟)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＝9a2，S3＝13. (1)求an及Sn； (2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解析：　(1)由题意得解得q＝3，a1＝1， 所以an＝a1qn－1＝3n－1，Sn＝ ＝. (2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，因为S1＋λ＝1＋λ，S2＋λ＝4＋λ，S3＋λ＝13＋λ，所以(4＋λ)2＝(1＋λ)