4.2.2.2 等差数列前n项和的应用（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的应用 [学习目标]　1.巩固等差数列的前n项和公式.2.掌握等差数列前n项和的最值问题解法.3.能利用等差数列前n项和公式解决实际问题． 知识点一　等差数列前n项和公式的函数特性 [问题导引1]　Sn＝na1＋d(d≠0)与二次函数有什么关系？ 提示：　Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的没有常数项的二次函数． [问题导引2]　一般地，如果一个数列{an}的前n项和为Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 提示：　当r＝0时，该数列是以p＋q为首项，2p为公差的等差数列；当r≠0时，该数列不是等差数列． 1．等差数列前n项和公式与二次函数的关系 在等差数列{an}中，Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n. 令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn. 当A≠0(d≠0)时，Sn是关于n的“二次函数”，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上； 当A＝0(d＝0)时，Sn是关于n的“一次函数”(B≠0，此时a1≠0)或“常函数”(B＝0，此时a1＝0)，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 (1)当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1＝a1，无最小值； (2)当a1>0，d<0时，数列{an}只有前面的有限项为非负数，从某项开始其余所有项均为负数，所以Sn有最大值，无最小值； (3)当a1<0，d>0时，数列{an}只有前面的有限项为负数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以Sn有最小值，无最大值； (4)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1＝a1，无最大值； (5)当d＝0时，数列{an}为常数列，Sn的最值取决于a1的取值． [点拨]　公差决定{an}的单调性，单调性决定Sn有最大值还是有最小值；首项和公差共同决定{Sn}的哪一项取到最值． 类型一　等差数列前n项和最值问题 (链接教材P23 例9)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大． 学生用书第24页 解析：　(1)方法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 方法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)方法一(通项公式法)：令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 方法二(二次函数法)：由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，距离最近的整数为16，17. 由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． [一题多变] 1．(变条件)若将本例条件变为“a1＝25，S9＝S17”，求{an}的前多少项和最大及最大值． 解析：　方法一：因为S9＝S17，a1＝25， 所以9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2) ＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 方法二：同方法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 由得 因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值169. 方法三：因为S9＝S17， 所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 方法四：设Sn＝An2＋Bn.因为S9＝S17， 所以二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值169. 2．(变条件、变设问)若将本例条件变为“a1＝－11，a3＋a7＝－6”，求Sn最小值． 解析：　由题设，知解得d＝2，则Sn＝－11n＋×2＝n2－12n，所以当n＝6时，Sn取得最小值，Sn最小值为－36. 求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 (1)二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2)通项公式法： 当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取最小值． 即时练1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最小值时n的值为(