4.2.2.1 等差数列的前n项和公式（教师用书） -2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.理解等差数列倒序相加的求和方法，能推导出等差数列的求和公式.2.掌握等差数列的前n项和公式，并能简单应用.3.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.4.理解等差数列前n项和的性质，并能解决较为简单的数学问题． 知识点一　等差数列的前n项和公式 [问题导引1]　高斯法求和的重要思想方法是什么？ 提示：　高斯法求和是首尾配对法，它使不同数的求和问题转化为相同数的求和，从而简化了运算，体现了转化与化归的思想方法． [问题导引2]　求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？ 提示：　求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Sn＝；若已知首项、公差和项数，则选用公式Sn＝na1＋d. 等差数列的前n项和公式 (1)已知等差数列{an}的首项为a1，第n项为an，则其前n项和Sn＝． (2)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn＝na1＋d． [点拨]　(1)等差数列{an}的前n项和公式的推导方法“倒序相加法”是解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和． (2)若已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n，则用公式Sn＝来求和．这里是a1与an的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质． (3)公式Sn＝中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式Sn＝na1＋d中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1，an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量． 类型一　等差数列的前n项和的有关计算 (链接教材P21 例6)(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　) A．－2 021　　　 B．2 021 C．2 022　　　 D．2 023 (2)在等差数列{an}中： ①已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； ②已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝－2 021， S6－2S3＝18， 所以6a1＋d－2＝18， 化为9d＝18，解得d＝2. 则S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023.故选D. (2)①方法一：由已知条件得 解得 所以S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210. 方法二：由已知条件得所以a1＋a10＝42， 所以S10＝＝5×42＝210. ②S7＝＝7a4＝42， 所以a4＝6. 所以Sn＝＝＝＝510.所以n＝20. 答案：　(1)D (链接教材P21 例7)(2022·江苏省张家港高级中学期中)已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn. (1)设Sk＝2 550，求a和k的值； (2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值． 学生用书第19页 解析：　由已知得4×2＝a－1＋2a，解得a＝3， 所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝4－2＝2. (1)由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2 550， 即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)， 所以a＝3，k＝50. (2)由Sn＝na1＋d，得Sn＝2n＋×2＝n2＋n， 所以bn＝＝n＋1. 又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项， 所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝＝＝2n2＋2n. 等差数列前n项和公式的运用方法与技巧 类型 “知三求二型” 基本量 a1，d，n，an，Sn 方法 运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组)，通过解方程(组)求出未知量 思想 方程的思想、整体思想 注意 ①利用等差数列的性质简化计算； ②注意已知与未知条件的联系； ③有时运用整体代换的思想 即时练1.已知等差数列{an}中， (1)a1＝，S4＝20，求S6； (2)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an； (3)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 解析：　(1)S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，所以d＝3. 故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48. (2)因为Sn＝n·＋(－)＝－15，整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×(－)＝－4. (3)由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4. 又由an＝a1＋(n－1)d， 即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171. 即时练2.