第13讲 函数的单调性9种常见题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）

第13讲 函数的单调性9种常见题型 【考点分析】 考点一：函数单调性的定义 如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。 考点二：单调性的定义的等价形式： 设，那么在是增函数； 在是减函数； 在是减函数。 在是增函数。 考点三：函数单调性的应用 即若在区间上递增（递减）且()； 若在区间上递递减且.(). 考点四：函数单调性的性质 在公共定义域内，则 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数。 考点五：双勾函数及其性质 函数叫做双勾函数 在上单调递增；在上是单调递减。 考点六：复合函数单调性的判断（同增异减） 讨论复合函数的单调性时要注意： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【题型目录】 题型一：用定义法证明函数单调性 题型二：抽象函数单调性的判断证明 题型三：函数单调性定义的理解 题型四：基本初等函数的单调性 题型五：函绝对值函数的单调性判断 题型六：已知函数的单调性求参数范围 题型七：分段函数的单调性求参数范围 题型八：复合函数单调性（同增异减） 题型九：抽象函数单调性解不等式 【典型例题】 题型一：用定义法证明函数单调性 证明函数单调性的步骤: (1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； (3)定号:判断差的正负或商与的大小关系； (4)得出结论． 【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。 证明：设，且，则 因为，且，所以，所以，所以，所以函数在（0，1）上是减函数。 【例2】（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数. 【答案】证明见解析 解：当时，，任取，且，则 .因为，所以，，，所以，即.所以在上是增函数. 【题型专练】 1．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 . (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明. 【答案】(1)，(2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数在区间上的单调性即可. （1）因为，所以，所以. （2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增. 2.（2022·全国·高一专题练习）判断 在 的单调性. 【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增． 【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性. 【详解】设， 则 （1）假如，则 又，所以故函数单调递减； （2）假如，则 又所以故函数单调递增； 所以函数在内单调递减，在内单调递增． 3.（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【分析】设，由可证得在上单调递增. 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； ，，，，， 是在上单调递增. 题型二：抽象函数单调性的判断证明 类型一：型 【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明； 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为 且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减 【题型专练】 1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为 且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增 2．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】(1),，(2)证明见解析 【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性； 【详解】(1)得，则，而， 且，则； (2)取定义域中的任意的，，且，， 当时，，， ，在上为减函数． 类型二：型 【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有. （1）试说明：函数是上的单调递减函数； 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为 且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减 【题型专练】 1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。 解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以 ，因为 且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增 类型三：型 【例1】已知定