第12讲 函数值域的六种常见求法-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）

第12讲 函数值域的六中常见求法 题型一：直接法（直接利用不等式的性质，由定义域的取值范围，推出的取值范围） 【例1】函数的定义域是，求值域。 【答案】 【详解】解法一：图象法：由题意知函数是由向右平移个单位得到，画出函数图象易得值域为 解法二：直接利用不等式性质：因为，所以，所以，所以 【例2】函数的值域是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以 【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 解： 又，所以函数的值域为 故选：A 【例4】（2022·广东深圳·高一期末）（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．已知，，则函数的值可能为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】利用常数分离法知，根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围，进而得到函数的值. 【详解】， 当时，，，， 此时的取值为1； 当时，，，， 此时的取值为2，3． 综上，函数的值可能为． 故选：BCD． 【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，值域为R，则（       ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 【答案】B 【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误； 对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误； 对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误； 对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误； 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误. 故选：B 【例6】（2021·全国·高一课时练习）[多选题]函数的函数值表示不大于x的最大整数，当时，下列函数时，其值域与的值域相同的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可求解，得到答案． 【详解】当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，． 所以当时，的值域为． 对于A选项，，，该函数的值域为； 对于B选项，，，该函数的值域为； 对于C选项，，，该函数的值域为； 对于D选项，，，该函数的值域为． 故选：ABD． 【题型专练】 1.（2022·湖南·雅礼中学高一期中）函数的值域是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 因为，所以，因此，函数的值域是. 故选：B. 2．（2021·全国·高一课时练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（       ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已，由得，；由，得，分别写出函数的定义域即可． 【详解】函数解析式为，值域为，由得，； 由，得，则定义域可以为，，，，， ，，，，因此“孪生函数”共有9个． 故选：C 3．（2021·江苏·高一单元测试）下列函数中，值域是的是（   　 ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义，即可得到结果. 【详解】对于A，，值域为，A不正确； 对于B，，值域为，B不正确； 对于C，，值域为，C正确； 对于D，，值域为，D正确. 故选:CD. 4．（2021·全国·高一专题练习）函数且的值域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数性质及其定义域即可判断值域. 【详解】解：且，或.，故函数的值域为． 故选：D. 5．（2021·全国·高一专题练习）函数（）的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离常数，再求出，从而得到即可得到答案. 【详解】，由于，∴，，， 于是，故函数的值域为. 故选：A. 题型二：配方法（一般适用求二次函数的值域，一般看开口方向和对称轴即可） 【例1】已知，定义域为 [1，3]，求其值域。 【答案】 【详解】由题意知函数的开口向上，对称轴为，所以在上为单调递增函数，所以 ， 得值域为 【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（       ） A． B． C． D．