第四章 习题课 错位相减法、裂项相消法求和（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

习题课　错位相减法、裂项相消法求和 学习目标　1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义.2.掌握错位相减和裂项相消求和的一般过程和思路． 一、错位相减法 例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)． 解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝； 当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1， ∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1 ＝－nxn＋1， ∴Sn＝－. 综上可得，Sn＝ 反思感悟　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法． (2)用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)数列是公差为1的等差数列， ∴＝a1＋n－1， 可得Sn＝n(a1＋n－1)，∴a1＋a2＝2(a1＋1)，且a2＝3.解得a1＝1.∴Sn＝n2.∴n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n＝1时也成立)． ∴an＝2n－1. (2)bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和 Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， ∴3Tn＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1， ∴－2Tn＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×－(2n－1)×3n＋1， 可得Tn＝3＋(n－1)×3n＋1. 二、裂项相消法 问题　已知数列an＝，如何求{an}的前n项和Sn. 提示　an＝＝－， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝＋＋…＋ ＝1－＝. 知识梳理　 常见的裂项求和的形式： ①＝； ②＝； ③＝－； ④＝； ⑤＝－； ⑥ln＝ln(n＋1)－ln n. 注意点：(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同． 例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若an>0，设bn＝log2(3an＋3)，求数列的前n项和． 解　(1)设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn， 因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20， 易知q≠1，所以T2＝＝4，① T4＝＝20，② 由得1＋q2＝5，解得q＝±2. 当q＝2时，a1＝，所以an＋1＝×2n－1＝； 当q＝－2时，a1＝－5，所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1＝－(－2)n＋1. 所以an＝－1或an＝－(－2)n＋1－1. (2)因为an>0，所以an＝－1，所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1， 所以＝＝－， 所以数列的前n项和为 ＋＋…＋ ＝－＝. 反思感悟　(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的． (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止． (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 跟踪训练2　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)设数列{an}的公差为d， 由题意得 解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)， ∴bn＝＝. ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ＝ ＝ ＝－. 1．知识清单： (1)错位相减法求和． (2)裂项相消法求和． 2．方法归纳：公式法、错位相减法、裂项相消法． 3．常见误区：错位相减法中要注意项的符号以及化简合并；裂项求和中要关注正项与负项的个数是否相同． 1．已知an＝，则a1＋a2＋a3＋…＋a80等于(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　因为an＝＝－(n∈N*)， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝－1＋－＋…＋－＝9－1＝8. 2．数列，，，…，，…的前n项和为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由数列通项公式 ＝， 得前n项和Sn ＝ ＝＝. 3．数列的前2 021