第四章 习题课 等比数列的性质的综合问题（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

习题课　等比数列的性质的综合问题 学习目标　1.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.2.理解等比数列的常用性质.3.掌握等比数列的判定及证明方法． 一、等比数列的实际应用 例1　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)， a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴n年后车的价值为an＋1＝(13.5×0.9n)万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 反思感悟　等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 跟踪训练1　有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升． 答案　8 解析　由题意可知，取出的纯酒精数量是一个以1为首项，1－为公比的等比数列， 即第一次取出的纯酒精为1升，第二次取出的为1－(升)，第三次取出的为2升，…， 第n次取出的纯酒精为n－1升， 则第九次和第十次共取出纯酒精数量为 a9＋a10＝8＋9 ＝8(升)． 二、等差数列与等比数列的转化 问题1　若等差数列an＝2n＋1，那么数列{22n＋1}是等差或等比数列吗？ 提示　设bn＝22n＋1，则bn－bn－1＝22n＋1－22n－1＝22n－1(4－1)＝3×22n－1不是常数，故{bn}不是等差数列；而＝＝22n＋1－(2n－1)＝22＝4，是常数，故{bn}是等比数列． 问题2　若等比数列an＝2n，则{lg an}为等差数列吗？ 提示　若等比数列an＝2n，则bn＝lg an＝lg 2n＝nlg 2是关于n的一次函数，是等差数列． 知识梳理　 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}是等比数列． 2．若数列{an}是公比为q(q>0)的等比数列，则数列{logaan}是等差数列． 注意点：(1)其底数a满足a>0，且a≠1；(2)等比数列{}的公比为ad；(3)等差数列{logaan}的公差为logaq. 例2　已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解　依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝3－n. 而＝＝－1＝2. ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝·2n－1＝2n－3. 延伸探究　已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝log2an，求证：数列{bn}是等差数列，并求其通项公式． 解　设等比数列{an}的公比为q， 由已知得q4＝＝28. ∵数列{an}是各项均为正数的等比数列， ∴q＝4，∴a1＝＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1. 又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2(n≥2)， b1＝log2a1＝1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴bn＝2n－1. 反思感悟　在等差数列与等比数列相互转化的过程中，相当于构造了一个新的数列，需判断是否满足等比数列或等差数列的定义． 跟踪训练2　数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1(n∈N*)，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n，则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)的值是(　　) A．n－1 B．n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 答案　A 解析　由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1， 即log2＝－1得＝， ∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为， ∵a1＋a3＋…＋a2n－1＝2n， ∴a2＋a4＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝2n－1， 则log2(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n－1. 三、等比数列的综合应用 例3　已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值． 解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)可得Sn＝＝＝