第四章 数列 章末复习课（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

章末复习课 一、等差与等比数列的基本运算 1．数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小． 2．通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 例1　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解　(1)设数列{an}的公比为q， 由已知得16＝2q3，解得q＝2， 所以an＝2×2n－1＝2n，n∈N*. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32. 设数列{bn}的公差为d， 则有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*. 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n，n∈N*. 反思感悟　在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用． 跟踪训练1　已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn. (1)若1，a1，a3成等比数列，求a1； (2)在(1)的条件下，若a1＞0，求Sn. 解　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因为a1＞0，所以a1＝2， 所以Sn＝2n＋＝＋，n∈N*. 二、等差、等比数列的判定 1．判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列． 2．通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 例2　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求数列{an}的通项公式． 解　(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，又a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 所以b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得＝， 即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1，n∈N*. 反思感悟　判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的常数． (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列. ②若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列． 跟踪训练2　已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． (1)证明　当n≥2时， 由＝，得an－1－an＝4an－1an， 两边同除以an－1an， 得－＝4. 所以数列是首项＝5，公差d＝4的等差数列． (2)解　由(1)得＝＋(n－1)d＝4n＋1， 所以an＝， 所以a1a2＝×＝， 假设a1a2是数列{an}中的第t项， 则at＝＝， 解得t＝11∈N*， 所以a1a2是数列{an}中的第11项． 三、数列求和 1．数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现．一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等． 2．通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 例3　已知数列{an}是n次多项式f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数，且f(1)＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求f ，并说明f <2. 解　(1)设f(1)＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝， 则an