3.1 椭圆及其方程 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬3.1 椭圆及其方程 知 识 题 型 类 型 椭圆的定义 椭圆的定义 重点、考点 椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程 重点、考点 椭圆的轨迹方程 重点、考点 椭圆的焦点三角形 椭圆的焦点三角形 重点、考点 一．椭圆的定义 平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 二．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图示 标准方程 焦点坐标 ， ， a，b，c的关系 三．椭圆的一般方程 椭圆的一般方程为：. 四．椭圆的焦点三角形 （1）焦点三角形的概念 设P是椭圆上一点，，为椭圆的焦点，当点P,，不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示. （2）焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 考点一 椭圆的定义 已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的（ ）例1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “等于常数”，反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆，即可判断出． 【解答】解：“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “等于常数”， 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． 因此“等于常数”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的必要不充分条件． 故选：． 已知平面内动点到两定点，的距离的和等于常数，关于动点的轨迹正确的说法是　②③⑤　．例2 ①点的轨迹一定是椭圆； ②时，点的轨迹是椭圆； ③时，点的轨迹是线段； ④点的轨迹一定存在； ⑤点的轨迹不一定存在． 【分析】由平面内动点到两定点，的距离的和等于常数，可得：当时，点的轨迹是椭圆； 当时，点的轨迹是线段；当时，动点的轨迹不存在．即可判断出答案． 【解答】解：由平面内动点到两定点，的距离的和等于常数，可知： 当时，点的轨迹是椭圆；当时，点的轨迹是线段；当时，动点的轨迹不存在． 由以上结论可知：只有②③⑤正确． 故答案为：②③⑤． 命题甲：动点到两个定点，的距离之和（常数；命题乙：点的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的（ ）变1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由点的轨迹是椭圆动点到两个定点，的距离之和（常数．反之不成立，其轨迹可能为一条线段．即可判断出结论． 【解答】解：由点的轨迹是椭圆动点到两个定点，的距离之和（常数． 反之不成立，其轨迹可能为一条线段． 命题甲是命题乙的必要不充分条件． 故选：． （多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）变2 A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可. 【详解】 对A，，故点P的轨迹不存在，A正确； 对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确； 对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 故选：AC （1）若动点满足方程，则M的轨迹是_______.例3 （2）若动点满足方程，则M的轨迹是_______. 【答案】椭圆；线段 若动点满足方程，则M的轨迹是_______.其焦点坐标是____________，焦距是_______.变3 【答案】椭圆；（0，-3）（0，3）；6 已知、是定点，．若动点满足，则动点的轨迹是（ ）例4 A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆 【分析】对选项进行分析：在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段． 【解答】解：对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段． 故选：． 已知，，动点满足，则点的轨迹是（ ）变4 A．双曲线 B．椭圆 C．线段 D．不存在 【分析】直接由椭圆的定义得答案． 【解答】解：，， ， 又， 点的轨迹不存在． 故选：． 考点二 椭圆的标准方程 方程表示椭圆的充要条件是__________．例1 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】 两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】 方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的