6.2.2　向量的减法运算　学案——2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

5.1—5.1.1任意角 2021高一 高一数学 助你成功 班级 姓名 学号 命题人： 课题：6.2平面向量的运算 6.2.2　向量的减法运算 我爱数学， 数学使我 快乐！ [学习目标] 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 知识点一　相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点二　向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 思考　若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 答案　如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. [判断正误] 1.相反向量就是方向相反的向量.(　×　) 提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系. 2.向量与是相反向量.(　√　) 提示　与大小相等、方向相反. 3.a－b＝b－a.(　×　) 提示　向量减法不满足交换律. 4.两个相等向量之差等于0.(　×　) 提示　两个相等向量之差等于0. [例题探究] 一、向量的减法运算 例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 　　　 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a. 解　方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a. 方法二　作＝＝b， 连接AD，则＝－＝c－a， ＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a. 二、向量减法法则的应用 例2　(1)化简：(－)＋(－)＝________. 答案　 解析　原式＝＋＋－＝＋－＝. (2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A.0 B. C. D. 答案　A 解析　＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0. 反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 跟踪训练2　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________. 答案　a＋c－b 解析　由已知＝， 则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. [随堂演练] 1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a B.a＋b C.b－a D.a－b 答案　D 解析　＝－＝a－b. 2.化简－＋＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3.已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案　A 解析　由－＝－，可得＝， 所以四边形ABCD一定是平行四边形. 4.下列等式成立的个数是(　　) ①a＋b＝b＋a； ②a－b＝b－a； ③0－a＝－a； ④－(－a)＝a； ⑤a＋(－a)＝0. A.5 B.4 C.3 D.2 答案　B 解析　由题意知，①③④⑤成立. 5.(多选)下列各向量运算的结果与相等的有(　　) A.＋ B.－ C.－ D.－ 答案　AD 解析　由题意知，AD正确. 课时评价作业 命题人： 审核人： 班级 姓名 学号 [A组达标基础练]