第一章 空间向量与立体几何（复习提升）-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何复习提升 ( 知识归纳 ) 空间向量与立体几何知识要点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 （3）三点共线：A、B、C三点共线<=> <=> （4）与共线的单位向量为 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。 （3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=> <=> 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若，，则， ，， ， ， 。 ②若，，则。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （4）模长公式：若，， 则， （5）夹角公式：。 ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ （6）两点间的距离公式：若，， 则， 或 7. 空间向量的数量积。 （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。 （2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。 （3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。 （4）空间向量数量积的性质： ①。②。③。 （5）空间向量数量积运算律： ①。②（交换律）。 ③（分配律）。 ④不满足乘法结合率： 空间向量与立体几何实际应用 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面的法向量为． ③求出平面内两个不共线向量的坐标． ④根据法向量定义建立方程组. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即. ⑵线面平行。设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即. ⑶面面平行。若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证. 3、 用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即. ②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若 ⑶面面垂直。 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则 ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角 的余角.即有： ⑶求二面角 二面角的平面角