第02讲 用空间向量研究距离、夹角问题（练透重点题型）-2022-2023学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 用空间向量研究距离、夹角问题(重点题型方法与技巧) 目录 类型一：求点到平面的距离（向量法和等体积法） 类型二：求异面直线所成角 类型三：求线面角 类型四：求二面角 类型五：是否存在点的探索性问题 类型一：求点到平面的距离（向量法和等体积法） 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 典型例题 例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______． 【答案】## 【详解】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知， 所以在图2中，，所以，即 如图建立空间直角坐标系，易知 则 则 设为平面ABC的法向量， 则，取，得 所以点到平面的距离 故答案为： 点评：本题利用向量法求点到平面的距离，注意公式的记忆： 是平面外一点，求到面的距离步骤： ①在平面内任意取一点，如，求向量 ②求平面的法向量； ③利用公式求距离 例题2．（2022·河北邯郸·高一期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求点到平面的距离. 【答案】(1)详见解析(2) （1）连结交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，且，所以，即四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面； （2）因为，则,,，所以，所以，,因为，且，，所以平面，因为，所以点到平面的距离为1，，根据等体积转化可知，即，解得：，所以点到平面的距离为. 点评：本题等体积法求距离：如本题通过变换定点，求几何体的体积，再求距离 同类题型归类练 1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为. 故选：D 2．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴. 因为正方体的边长为4，所以，，，， ，所以，，， 设平面的法向量，所以，， 即，设，所以，，即， 设点到平面的距离为，所以， 故选：D. 3．（2022·云南保山·高一期末）如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) (1)证明：连接交于点，连接， 底面为正方形，为中点， 点是的中点，， 平面，平面， 平面． (2)解：因为平面，平面，所以，又四边形为正方形， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 又点是的中点，，，所以，， ，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得， 即点到平面的距离为. 类型二：求异面直线所成角 已知，为两异面直线，，与，分别是，上的任意两点，，所成的角为，则 ① ②. 典型例题 例题1．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为2， 则， ， ， ， ， ， 设异面直线与所成角为， 则． 异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：． 点评：利用向量法求异面直线所成角的步骤： 设异面直线,所成的角为，则 ①建立坐标系，将异面直线，用向量表示，，再利用公式求解 ② ③. 例题2．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________ 【答案】 【详解】过作平面平面， 因为点是底面内（含边界）的一点，且平面， 则平面，即在与平面的交线上， 连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面， 同理可证平面，所以平面平面， 则平面即为，点在线段上， 设正方体的棱长为，且， 则， ，可得， 设与所成角为， 则， 当时，取得最小值，最小值为， 当或时，取得最大值，最大值为． 故答案为． 点评：异面直线与所成角的取值范围问题： 用向量求出异面直线所成角的余弦，如本例：，在利用二次函数，求解取值范围 同类题型归类练 1．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】 【详解】解：设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意有，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 2．