1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册 人教A版（2019)

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示　空间中直线、平面的平行 [学习目标] 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.会求直线的方向向量与平面的法向量(重点).3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.4.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系(难点).5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断． 要点一　空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式：如图，a是直线l的方向向量，点A和点P为直线l上的点，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta　①，将＝a代入①式得＝＋t　②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 3．空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y　③.我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4．平面的法向量：如图，若直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量；给定一个点A和一个向量a，那么过点A且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}. 思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？ 提示 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或法向量． 要点二　空间中直线、平面的平行 1．线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.　 2．线面平行的向量表示：设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.　 3．面面平行的向量表示：设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反．(　　) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　) (3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行．(　　) (4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) 解析 (1)正确．相互平行的两条直线的方向向量共线，所以两向量的方向相同或相反． (2)错误．两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合． (3)正确．由法向量的概念可知正确． (4)错误．当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量． 答案 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× 类型一　求平面的法向量 解题技巧 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 【例题1】 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SDC与平面SAB的一个法向量． 解析 以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)， 所以＝，＝. 显然向量＝是平面SAB的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量， 则即 取x＝2，得y＝－1，z＝1， 故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)． 【变式1】 已知点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由已知可得＝(0,1,1)－(1,0,1)＝(－1,1,0)，＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，则n·＝(x，y，z)·(－1,1，0)＝－x＋y＝0，n·＝(x，y，z)·(1,0，－1)＝x－z＝0.不妨令x＝1，则y＝z＝1.因此可取n＝(1,1,1)为平面ABC的一个法向量． 类型二　直线和直线平行 答题模板 证明空间两直线平行的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系，求出相应点