专题07 二次函数与一元二次方程和不等式（热考题型）-【一题三变系列】2022-2023学年九年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题07 二次函数与一元二次方程和不等式 【思维导图】 ◎考试题型1 抛物线与轴的交点情况 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=. 3.二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系： 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情况 b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根 例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（       ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的对称轴是，求出，设的另一根为m，利用根与系数的关系可得：，即可求出m． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴是， ∴，即， 设的另一根为m， 利用根与系数的关系可得：， ∴． 故选：C 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质． 变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线与x轴的一个交点是，另一个交点是B，则AB的长为（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】 【分析】 将代入抛物线中求出a的值，然后令求出点B的坐标，即可求出AB的值． 【详解】 抛物线与x轴的一个交点是， ，即， 抛物线为：， 令，求出， ， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数与x轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与x轴交点坐标之间的联系是解题的关键． 变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x -2 -1 0 6 y 0 4 6 1 下列结论不正确的是（       ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】 解：由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意； 令，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意； 故选C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线与轴的一个交点是，另一交点为，则的长为（       ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据点A在抛物线上，先求出a的值，进而求出B的坐标，即可求解． 【详解】 解：∵抛物线与轴的一个交点是 ∴0=a+4a+2 ∴a= ∴ 当y=0时，， 解得 ∴B（5，0） ∴AB=5-（-1）=6， 故选：C． 【点睛】 本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解题的关键． ◎考试题型2 抛物线与轴的交点情况 图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。 例．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）抛物线与轴的交点坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 令，可求得，据此求解即可． 【详解】 解：令，得：， ∴与轴的交点坐标为（0，-3）， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数坐标轴的交点的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 变式1．（2022·广东广州·九年级期末）函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（1，0） C．（0，﹣2） D．（0，2） 【答案】C 【解析】 【分析】 函数图象与y轴的交点即令x=0，即可解题． 【详解】 解：令x=0， y＝x2+x﹣2=-2 即函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，-2） 故选：C． 【点睛】 本